Teorema de Gauss-Bonnet

En geometria diferencial, el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet) és una fórmula que afirma la igualtat de dues quantitats definides de forma ben diferent en una varietat riemanniana compacta i orientable de dues dimensions M: la integral de la curvatura gaussiana de M (sentit geomètric) i vegades la característica d'Euler de M (sentit topològic).[1]

El teorema porta el nom dels matemàtics Carl Friedrich Gauss, qui va tenir consciència d'una versió del teorema sense haver-la mai publicat, i de Pierre-Ossian Bonnet, qui en va publicar una versió particular el 1848.

Enunciat

modifica

Sigui   una varietat riemanniana de dues dimensions compacta i sense límits; aleshores la integral de la curvatura de Gauss permet calcular característica d'Euler de la superfície.

  [2]

Per una varietat compacte amb límits, la fórmula és:

 

siguent   la curvatura geodèsica dels vértexs  .

Si el límit   només és regular a trossos, la fórmula continua sent vàlida, prenent en lloc de l'integral   la suma de les integrals corresponents de les porcions regulars del límit més la suma dels angles formats als punts angulars.

Referències

modifica
  1. Lee, pàgina 155.
  2. Bloch, pàgina 328.

Bibliografia

modifica

Enllaços externs

modifica