Teorema de Gauss-Bonnet
En geometria diferencial, el teorema de Gauss-Bonnet (o fórmula de Gauss-Bonnet) és una fórmula que afirma la igualtat de dues quantitats definides de forma ben diferent en una varietat riemanniana compacta i orientable de dues dimensions M: la integral de la curvatura gaussiana de M (sentit geomètric) i vegades la característica d'Euler de M (sentit topològic).[1]
El teorema porta el nom dels matemàtics Carl Friedrich Gauss, qui va tenir consciència d'una versió del teorema sense haver-la mai publicat, i de Pierre-Ossian Bonnet, qui en va publicar una versió particular el 1848.
Enunciat
modificaSigui una varietat riemanniana de dues dimensions compacta i sense límits; aleshores la integral de la curvatura de Gauss permet calcular característica d'Euler de la superfície.
Per una varietat compacte amb límits, la fórmula és:
siguent la curvatura geodèsica dels vértexs .
Si el límit només és regular a trossos, la fórmula continua sent vàlida, prenent en lloc de l'integral la suma de les integrals corresponents de les porcions regulars del límit més la suma dels angles formats als punts angulars.
Referències
modificaBibliografia
modifica- Bloch, Ethan D. «The Gauss-Bonnet Theorem». A: A First Course in Geometric Topology and Differential Geometry (en (anglès)). Birkäuser, 1997, p. 328-380. ISBN 978-0-8176-8122-7.
- Givental, Alexander «Geometry of Surfaces and the Gauss–Bonnet Theorem» (en (anglès)). . Berkeley Math Circle, pàg. 1-12.
- Lee, John M. «The Gauss-Bonnet Theorem». A: Riemannian Manifolds (en (anglès)). Springer, 1997, p. 155-172. ISBN 978-0-387-98322-6.
- Raghunathan, M.S. «The Gauss–Bonnet Theorem» (en (anglès)). Indian Journal of Pure and Applied Mathematics, Vol. 46, Num. 6, 2015, pàg. 893-900. Arxivat de l'original el 2017-02-03. DOI: 10.1007/s13226-015-0163-2.
Enllaços externs
modifica- Gauss-Bonnet Formula per Weisstein, Eric W. a MathWorld.