Teorema de Varignon

El terme teorema de Varignon fa referència a dos teoremes diferents demostrats ambdós pel matemàtic francès Pierre Varignon (1654-1722), un Teorema matemàtic i un Teorema mecànic.

Teorema matemàtic

$A(\Box IJKL)={\frac {1}{2}}A(\Box ABCD)$

ABCD és un quadrilàter qualsevol, I, J, K i L els punts mitjans dels seus costats. IJKL és un paral·lelogram.

Enunciat: si ABCD és pla i convex, la seva àrea és el doble de IJKL.

Corol·lari: les mitjanes d'un quadrilàter tenen el mateix punt mitjà (i són les diagonals del paral·lelogram), el perímetre del paral·lelogram de Varignon és igual a la suma de les longituds de les diagonals del quadrilàter.

Demostració

Aplicant el teorema dels punts mitjans, es mostra que els costats oposats d'IJKL són cadascun paral·lel a una diagonal d'ABCD, per tant, paral·lels entre si.

D'acord amb el teorema de Tales la base b de IJKL és igual a la meitat de la diagonal d d'ABCD, i l'altura h és igual a la meitat de l'altura h'. Agafant-ho d'una punta a l'altre d'ABCD (perpendicularment a la diagonal).

Així:

Àrea (ABCD) = ${\frac {1}{2}}$ × d × h’ = ${\frac {1}{2}}$ × 2b × 2h = 2 × Àrea (IJKL)

quadrangle convex	quadrangle reentrant	quadrangle creuat

Teorema mecànic

El teorema de Varignon és un teorema descobert per primera vegada pel matemàtic neerlandès Simon Stevin a començaments del segle xvii, però que deu la seva actual forma al matemàtic francès Pierre Varignon (1654-1722), que el va enunciar el 1724 al seu tractat Nouvelle mécanique, com a resultat d'un estudi geomètric en el qual, en contra de l'opinió dels matemàtics francesos de la seva època, va decidir traslladar les idees exposades per Newton a la notació i a l'enfocament que sostenia Leibniz sobre l'anàlisi.

Enunciat i demostració

El teorema de Varignon és ara vist, gràcies a l'ús del càlcul vectorial, com una obvietat. Tanmateix, en la seva època va tenir una rellevància fonamental, ja que les forces no eren vistes com a vectors amb un mòdul, direcció i sentits donats, sinó com entelèquies molt abstractes el tractament de les quals es veia complicat a causa d'una semàntica difícil i ineficaç i simbologia (que la notació de Leibniz va resoldre), i per l'ús de tècniques geomètriques molt enginyoses però difícils de tractar.

El seu enunciat, segons la terminologia actual, seria:

El moment resultant sobre un sistema de forces concurrents és igual a la suma dels moments de les forces aplicades.

Demostració

Sigui un sistema de n forces concurrents, $F1,F2...,Fi...,Fn$, vectors en un espai euclidià, que té com a punt d'aplicació un cert punt A. El moment de cada força $Fi$ respecte a $O$ serà: $Mi=rxFi$ (producte vectorial). Cal notar que escrivim $r$ i no $ri$, ja que totes les forces s'apliquen en el mateix punt. El moment de la resultant $R$ és: $M=rxR$ on $R=F1+F2+Fi+...+Fn$ i $r$ és novament el vector posició comú. Aplicant la propietat del producte vectorial, tenim $rxR=rx(F1+F2+Fi+...+Fn)$ $rxR=rxF1+rxF2+rxFi+...+rxFn)$ llavors $M=M1+M2+Mi+...+Mn$

Després, efectivament "el moment resultant és igual a la suma vectorial dels moments de les forces aplicades si aquestes són concurrents".