Teorema de la gràfica tancada

En matemàtiques, concretament en anàlisi funcional, el teorema de la gràfica tancada[1][2] és un dels resultats bàsics. El seu enunciat és el següent:

Si i són espais de Banach i és un operador lineal, aleshores és continu si i sols si la seva gràfica és un subconjunt tancat de , amb la topologia producte.

La demostració habitual es basa en el teorema de l'aplicació oberta.

Per definició, els operadors que tenen gràfica tancada reben el nom d'operadors tancats. A causa del teorema de la gràfica tancada, aquesta definició només és rellevant quan l'operador només està definit en un subespai , que rep el nom de domini de . Un exemple molt típic seria l'operador derivada, amb , que és tancat, però que . Si no hi ha confusió, de vegades aquests operadors s'anomenen tancats no fitats.

ReferènciesModifica

  1. Rudin, Walter. Functional Analysis. New Delhi: Tata MacGraw-Hill, 1973. 
  2. Brézis, Haim. Functional analysis, Sobolev spaces and partial differential equations (en anglès). Nova York: Springer, 2011. ISBN 9780387709130.