Teorema del virial

(S'ha redirigit des de: Teorema de virial)

En mecànica, el teorema del virial és una equació general que relaciona l'energia cinètica total mitjana d'un sistema amb la seva energia potencial mitjana , en què les claus angulars representen la mitjana temporal de la magnitud continguda entre si. En el cas d'un sistema de N partícules, l'expressió matemàtica del teorema del virial és:

,

en què Fk representa la força que actua sobre la partícula k-èsima, que està ubicada en la posició rk.

La paraula "virial" té l'origen en vis, la paraula llatina per 'força' o 'energia', i Clausius el 1870 li va donar la seva accepció tècnica.[1]

AplicacionsModifica

El teorema del virial permet calcular l'energia cinètica total mitjana encara per a sistemes molt complexos en els quals és molt difícil obtenir una solució exacta, com ara els relacionats en mecànica estadística; aquesta energia cinètica total mitjana es relaciona amb la temperatura del sistema mitjançant el teorema d'equipartició. Un exemple de les seves moltes aplicacions és l'ús del teorema del virial per a calcular el límit de Chandrasekhar per a l'estabilitat de les estrelles nanes blanques.

Si la força entre dues partícules qualssevol del sistema és produïda per una energia potencial V(r) = arn que és proporcional a alguna potència n de la distància r entre si, el teorema del virial adopta la forma:

 .

En termodinàmica, el teorema del virial ens permet escriure un model que s'aproximi a un gas real, que es trobi en la natura. Per això, s'usa un desenvolupament en potències d'1/v, i s'obté (en magnituds molars):

 

en què B(T), C(T)... són el segon coeficient del virial, tercer coeficient del virial respectivament. A aquest desenvolupament, també se'l coneix amb el nom de desenvolupament de Kammerlingh Onnes. Com a exemple, el gas de van der Waals es pot escriure usant el desenvolupament de Kammerlingh Onnes com (de nou, en magnituds molars):

 

DemostracióModifica

Emprant el formalisme lagrangià definim la magnitud següent:

 

i és   les coordenades generalitzades i

 

els moments generalitzats.

A continuació calculem:

 

Suposant que, en el sistema donat, les coordenades i moments generalitzats estan tancats, concloem que:

 

A més, ja que:

 

Obtenim finalment:

 

ReferènciesModifica

  1. Clausius, RJE. On a Mechanical Theorem Applicable to Heat. 40, 1.870, p. 122-127. 

Referències addicionalsModifica