Teorema del transport de Reynolds

El teorema del transport de Reynolds, o simplement teorema de Reynolds, és un teorema analític que permet avaluar la velocitat de canvi de qualsevol propietat o característica d'un fluid examinant-ne el flux a través d'un volum de control.[1][2]

Aquest teorema va ser descobert per Osborne Reynolds (1842–1912) i a causa de la seva relació amb la llei integral de Leibniz, de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), sovint al teorema de Reynolds també se l'ha anomenat teorema del transport de Leibniz-Reynolds.[3]

D'aquest teorema se n'obtenen les 4 equacions generals, o fonamentals, en forma integral de la mecànica de fluids: l'equació de conservació de la massa, l'equació de conservació de la quantitat de moviment, equació de conservació del moment cinètic i l'equació de conservació de l'energia.

Forma general o compactaModifica

La forma general o compacta de l'equació de Reynolds es pot donar com:[4]

 

on   és la densitat del fluid,   és la velocitat d'entrada/sortida dels fluxos,   és el diferencial de superfície. Físicament els termes es poden interpretar com:

  •   és la variació per unitat de temps del contingut de la propietat genèrica B en el volum de control definit.
  •   és la variació causada pel canvi del contingut de la propietat B de les partícules de l'interior del volum de control.
  •   és la variació provocada pel flux de propietat B entrant o sortint del volum de control. La integral tencada vol dir que s'ha d'integrar per tantes superfícies d'entrada i sortida com hi hagi.[5]

DeduccióModifica

Per deduir l'equació del transport de Reynolds es comença anomenant sistema de control al fluid al qual es vol analitzar el canvi d'una propietat genèrica associada. Aquest sistema de control, el volum de fluid, inicialment ocupa un espai, que s'anomenarà volum de control. Inicialment el sistema de control i el volum de control són iguals, però amb el temps el volum de control romandrà igual però el sistema de control es pot haver desplaçat.[6]

Equacions fonamentalsModifica

Assignant a la propietat genèrica B les propietats: massa, quantitat de moviment, moment angular i energia. Obtenim les 4 equacions fonamentals de la mecànica de fluids:[7]

Equació de conservació de la massaModifica

La propietat que es vol estudiar del fluid és la massa. Com que el sistema de control és una identitat fixa, la massa d'aquest sistema no varia i s'estableix que:

 

Si això es substitueix a l'equació del transport de Reynolds obtenim l'equació de continuïtat o de conservació de la massa:

 

Aquest principi demostra la invariabilitat temporal de la massa d'un volum fluid.

Equació de conservació de la quantitat de movimentModifica

Si es combina el teorema de Reynolds amb la segona llei de Newton, definint la propietat genèrica B com la quantitat de moviment, producte de la massa i la velocitat, s'obté que la variació d'aquesta propietat serà:

 

Això vol dir que la variació temporal de la quantitat de moviment al sistema de control es deu a la suma de forces que actuen al sistema. Si se substitueix a l'equació de Reynolds s'obté:

 

Equació de conservació del moment cinèticModifica

En aquest cas la propietat genèrica per unitat de massa b es defineix com:

 

Així doncs, la propietat genèrica B és:

 

Això substituït a l'equació de Reynolds és:

 

Això implica que la variació del moment cinètic d'una massa de fluid és igual al moment respecte a l'origen de referències de totes les forces que hi actuen a sobre.

Equació de conservació de l'energiaModifica

En un fluid, i de forma genèrica, hi poden haver cinc formes d'energia:

  • Energia cinètica: deguda al moviment de la partícula.
  • Energia potencial: associada a la posició de la partícula.
  • Energia interna: associada a l'estructura i moviments moleculars.
  • Energia química: deguda a les reaccions químiques o a la disposició dels àtoms en molècules.
  • Energia nuclear: associada a l'estructura interna dels àtoms.

A causa de les circumstàncies especials que s'han de donar perquè hi hagi una variació de les dues últimes, només es consideren els canvis d'energia cinètica, interna i potencial. Aleshores, la propietat B es pot definir com:

 

Si s'expressa en funció de la massa:

 

Això substituït a l'equació de Reynolds és:

 

Així doncs, la variació d'energia total d'un fluid és igual al treball per unitat de temps, la potència, de les forces exteriors més la calor rebuda de l'exterior per unitat de temps.

ReferènciesModifica

  1. Bergadà, 2012, p. 100.
  2. Yoon, Hyunse. «Control Volume and Reynolds Transport Theorem» (pdf) (en anglès). University of Iowa. [Consulta: 28 novembre 2014].
  3. Stover, Christopher. «Reynolds Transport Theorem» (web) (en anglès). Wolfram Mathworld. [Consulta: 26 novembre 2014].
  4. Bergadà, 2012, p. 104.
  5. Oliver i Agelet de Saracibar, 2003, p. 137.
  6. Bergadà, 2012, p. 101-102.
  7. Virto, 1993, p. 160-180.

BibliografiaModifica

  • Bergadà, Josep M. Mecánica de fluidos. Breve introducción teórica con problemas resueltos (llibre/llibre digital) (en castellà). 1a ed. Barcelona: UPCGrau, 2012, p. 719 (Iniciativa Digital Politècnica). ISBN 978-84-7653-943-9. 
  • Oliver, Xavier; Agelet de Saracibar, Carlos. Mecànica dels medis continus per a enginyers (llibre/llibre digital) (en català). 1a ed. Barcelona: Edicions UPC, 2003, p. 329. ISBN 978-84-8301-719-7. 
  • Virto, Luis. Mecànica de fluids. Fonament I (llibre/llibre digital) (en català). 1a ed. Barcelona: Edicions UPC, 1993, p. 456. ISBN 84-7563-372-1. 
  • White, Frank M. Elizabeth A. Jones. Fluid Mechanics [Mecànica de Fluids] (en anglès). 5a. Nova York: McGraw-Hill, 2003 (McGraw Hill Series in Mechanical Engineering). ISBN 0-07-240217-2 [Consulta: 19 gener 2020]. 

Enllaços externsModifica