La prova tècnica següent presenta una fórmula per als símbols de Christoffel de la connexió en un conjunt coordinat local. Per a una mètrica donada, aquest conjunt d'equacions pot arribar a suposar tot un repte. Hi ha mètodes més ràpids i més simples d'obtenir els símbols de Christoffel per a una mètrica donada, i amb la integral d'acció i les equacions associades d'Euler-Lagrange.
Ja que són els camps de coordenades vectorials hem de:
per a tots i i j . Per tant, la segona propietat és equivalent a:
la qual cosa és equivalent a per a tots els i, j i k.
La primera propietat de la connexió de Levi-Civita (a dalt), llavors, és equivalent a:
.
Això dona la relació única entre els símbols de Christoffel (que defineixen la derivada covariant) i els components del tensor mètric.
Podem invertir aquesta equació i expressar els símbols de Christoffel amb un petit truc, escrivint aquesta equació tres vegades amb una elecció pràctica dels índexs:
Sumant, la majoria dels termes en el costat dret es cancel·len i ens quedem amb:
És a dir, els símbols de Christoffel (i per tant la derivada covariant) són determinats totalment per la mètrica, amb les equacions que impliquen la derivada de la mètrica.