Teoria KAM

La teoria KAM és un conjunt d'eines per a poder demostrar l'existència de solucions quasiperiòdiques en sistemes hamiltonians i en sistemes dinàmics en general. KAM és l'acrònim de Kolmogorov, Arnol'd i Moser, tres matemàtics que van ser els precursors d'aquesta.^[1]^[2]^[3]

Il·lustració del problema

Originalment, la teoria KAM resol el problema següent:

Sigui $h_{0}:\mathbb {T} ^{n}\times \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R}$ un hamiltonià de la forma $h_{0}(q,p)=q\cdot \omega +{\frac {1}{2}}\langle p,Ap\rangle$ amb la matriu $A$ invertible. Llavors les òrbites d'aquest sistema compleixen les equacions diferencials

$\left\{{\begin{matrix}{\dot {q}}&=&{\frac {\partial h_{0}}{\partial p}}&=&\omega +Ap\\{\dot {p}}&=&-{\frac {\partial h_{0}}{\partial q}}&=&0\\\end{matrix}}\right..$

Aquest sistema es diu sistema integrable i les seves òrbites són $q(t)=q_{0}+t\omega ,p(t)=p_{0}$ . La pregunta natural que sorgeix és si aquestes órbites persisteixen quan pertorbem el hamiltonià. Més conctretament, sigui $h(q,p)=h_{0}(q,p)+h_{per}(q,p)$ amb $h_{per}$ de norma petita. La teoria KAM respon que si $h_{per}$ és de tamany prou petit i si $\omega$ és un vector diofantí llavors el hamiltonià $h$ tindrà òrbites quasiperiòdiques amb frequència $\omega$ .

Referències

↑ Kolmogorov, A.N. «On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function.». Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), (98), 1954, pàg. 527-530.
↑ Arnol'd, V.I. «Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian.». Uspehi Mat. Nauk, (18), 1963, pàg. 13-40.
↑ Moser, J. «On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus.». Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1962, pàg. 1-20.

Bibliografia

de la Llave, Rafael, A tutorial on KAM theory, In Smooth ergodic theory and its applications (Seattle, WA, 1999), volume 69 of Proc. Sympos. Pure Math., pages 175–292. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2001.

Vegeu també

Teorema de Kolmogórov-Arnold-Moser

[1] Kolmogorov, A.N. «On conservation of conditionally periodic motions for a small change in Hamilton’s function.». Dokl. Akad. Nauk SSSR (N.S.), (98), 1954, pàg. 527-530.

[2] Arnol'd, V.I. «Proof of a theorem of A. N. Kolmogorov on the preservation of conditionally periodic motions under a small perturbation of the Hamiltonian.». Uspehi Mat. Nauk, (18), 1963, pàg. 13-40.

[3] Moser, J. «On invariant curves of area-preserving mappings of an annulus.». Nachr. Akad. Wiss. Göttingen Math.-Phys. Kl. II, 1962, pàg. 1-20.

[1]

[2]

[3]