Transformada de Fourier de senyal discret
La Transformada de Fourier de senyal discret (DTFT, acrònim anglès de Discret Time Fourier Transform) és la transformada de Fourier aplicada a un senyal discret creat a partir s'un senyal continu. Després d'efectuar la transformada de Fourier s'obté una funció en la freqüència que és un sumatori periòdic de la transformada de Fourier del senyal continu original.[1][2] Aquesta transformada de Fourier es pot realitzar amb DFT (Discret Fourier Transform) de forma ràpida. La transformada inversa DTFT també és viable.
Definició formal
modificaSigui un senyal continu en funcií del temps i la seva versió discretitzada per a tota els nombres enters . La variable és la freqüència.
![{\displaystyle x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864cbbefbdcb55af4d9390911de1bf70167c4a3d)
![{\displaystyle X_{2\pi }(w)=\textstyle \sum _{-\infty }^{\infty }\displaystyle x[n]e^{-iwn}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d72974157313b64ca2303ceda8430540729810cd)
Propietats
modificaEn la següent taula es mostres operacions matemàtiques aplicades en el domini temporal i els seus corresponents efectes en el pla freqüencial:[3]
- El símbol * és la convolució discreta de 2 seqüències
- x[n]* és el complex conjugat de x[n]
| Propietat | Domini temporal
|
Domini freqüencial
|
Notes |
|---|---|---|---|
| Lenealitat | a. +b. | ||
| Desplaçament en el temps | enter k | ||
| Desplaçament en la freqüència | real a | ||
| Inversió temporal | |||
| Conjugació temporal | |||
| Inversió i conjugació temporal | |||
| Derivada de la freqüència | |||
| Integral de la freqüència | |||
| Multiplicació temporal | |||
| Convolució | |||
| Correlació | |||
| Teorema de Parseval |
![{\displaystyle x[n-k]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3bfc2b24164de1192ea1e17a90312a3e045911e)
![{\displaystyle x[n]e^{ian}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f540caf14c269c45b6b5d32ceb555ce8841bae)
![{\displaystyle x[-n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61499a6c6544d338cf6ac340b27ad734c4daba05)
![{\displaystyle x[n]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e49908fe3dfbd435e478d58b4c10c47e3a609c96)
![{\displaystyle x[-n]^{*}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb208f439fc83acd99c3db8d63304b65890993c4)
![{\displaystyle {\frac {n}{i}}x[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2eb71af662480e119b9bd16ff2e4c49151ab4b9)
![{\displaystyle {\frac {i}{n}}x[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/384ec2e6f1fb841111d00c800196000a4d406964)
![{\displaystyle x[n]\cdot y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3e208ac041ff192194184d3c708d7789f9c9178)
![{\displaystyle x[n]*y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3b1fd5ad225be66dfa022f43a3333b08fb3fb7)
![{\displaystyle \rho _{xy}[n]=x[-n]^{*}*y[n]\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37d82c9624d4b16650c5652c000d0bb459f794c6)
![{\displaystyle E=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{x[n]\cdot y^{*}[n]}\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4441b0f623efac9e5784561b56bb587551ffd43d)
Vegeu també
modificaReferències
modifica- ↑ «The Discrete Time Fourier Transform» (en anglès). www.dspguide.com. [Consulta: 3 març 2017].
- ↑ «Discrete-time Fourier transform» (en anglès). [Consulta: 3 març 2017].
- ↑ «DTFT» (en anglès). [Consulta: 3 març 2017].