Usuari:Arnau Boix/Movimient rectilini uniformement acelerat

La caiguda lliure d'una pilota es pot estudiar mitjançant l'aproximació a un MRUA.

Un Moviment Rectilini Uniformement Accelerat (MRUA), també conegut com a moviment rectilini uniformement variat (MRUV), és aquell en el qual un mòbil es desplaça sobre una trajectòria recta estant sotmès a una acceleració constant.

Un dels exemples més comuns pel qual s'empren les expressions matemàtiques que descriuen aquesta cinemàtica és en la aproximació del moviment de caiguda lliure vertical. En aquesta aproximació es negligeix l'efecte de la fricció de l'aire i es considera constant l'acceleració intervinent, que correspon a la de la gravetat de la Terra (9,8 m/s²).

El Moviment Rectilini Uniformement Accelerat és un cas particular de Moviment Uniformement Accelerat (MUA).

Moviment rectilini uniformement accelerat en mecànica newtoniana

En mecànica clàssica el moviment rectilini uniformement accelerat (MRUA) presenta dues característiques fonamentals:

1. El mòbil segueix una trajectòria rectilínia
2. L'acceleració experimentada pel mòbil és constant

Partint de:

$\mathbf {F} =m\,\mathbf {a}$

Atès que la massa del mòbil és constant i que en el MRUA també ho és l'acceleració (característica fonamental número 2), la força resultant és constant.

Per tant, es determina que:

• La velocitat varia linealment respecte el temps.
• La posició varia de forma quadràtica respecte del temps.

La següent figura mostra les relacions de l'acceleració (vermell), la velocitat (blau) i l'espai (verd) en funció del temps.

En aquest cas exemple l'acceleració és a₀ = 4 m/s², la velocitat inicial és v₀ = 8 m/s i la posició inicial x₀ = 100m. Aquests valors coincideixen amb l'ordenada a l'orígen (valor on la línia talla l'eix Y) de cadascuna de les seves representacions gràfiques, com es pot observar a continuació.

• L'acceleració al ser una constant es veu representada com una recta horitzontal: el seu valor no varia al llarg del temps.
• La velocitat, al augmentar linealment, es veu representada com una recta horitzontal, amb un pendent determinat per l'acceleració: com més elevada, més elevat serà aquest pendent.
• La posició, al variar de forma quadràtica respecte el temps, es veu representada com una paràbola.

Acceleració

L'acceleració (representada amb la lletra "a") no varia al llarg del temps, és constant, i per tant la seva representació és una recta horitzontal, de pendent zero:

$a=a_{0}$

Exemples representats (d'esquerra a dreta):

• acceleració negativa (o desacceleració)
• acceleració zero (o nul·la, no n'hi ha, es tractarà d'un MRU)
• acceleració positiva

Velocitat

La velocitat (representada amb la lletra "v") varia de forma constant al llarg del temps, i per tant la seva representació és una recta, el pendent de la qual dependrà de l'acceleració.

$v(t)=at+v_{0}$

Exemples representats (d'esquerra a dreta):

• la velocitat varia de forma decreixent al llarg del temps (pendent negatiu) ja que l'acceleració és negativa
• la velocitat no varia (pendent nul), ja que l'acceleració és nul·la. Es tracta d'un cas de MRU
• la velocitat varia de forma creixent al llarg del temps (pendent positiu) ja que la acceleració té valor positiu

Per a una mateixa velocitat inicial (en el cas dels seüents exemples, v₀=0 m/s) amb diferents acceleracions tenim un feix de rectes que tallen al mateix punt de l'eix d'ordenades però de diferent pendent:

Per una mateixa acceleració i diferents velocitats inicials, en la representació de la velocitat respecte el temps d'aquests models, s'observa un feix de rectes paral·leles. Això és degut a que, com s'ha mencionat anteriorment, la pendent és l'acceleració i per tant igual si és igual per diferents models, aquests mostraran línies paral·leles:

Posició

La posició a l'espai (representada amb la lletra "e") en funció del temps es pot determinar mitjançant l'expressió:

$e(t)={\frac {1}{2}}at^{2}+v_{0}t+e_{0}$

On e₀ és la posició inicial del mòbil.

La representació gràfica de la posició a l'espai respecte al temps d'un mòbil amb una acceleració constant i diferent de zero, és una paràbola.

Si la velocitat i posició inicials són fixes, per a diferents acceleracions s'observen diferents paràboles, que tenen en comú el fet de passar pel mateix punt de la posició inicial i a més que en aquest punt presenten el mateix pendent. En el cas de l'exemple mostrat a continuació, a temps inicial (zero) el mòbil es troba a posició 100 i presenta el mateix pendent.

Per una mateixa acceleració i posició inicial (en el cas dels següents exemples a₀=8m/s² i e₀=100) però amb diferents velocitats inicials les gràfiques són d'aquesta forma:

Per una mateixa acceleració i velocitat inicial (en el cas dels següents exemples a₀=8m/s² i v₀=16m/s) però diferents posicions inicials, la representació de la posició respecte el temps d'aquests models s'observa un feix de paràboles paral·leles:

A més de les relacions presentades anteriorment, es pot aïllar la velocitat per a trobar l'equació que relaciona entre sí el desplaçament i la velocitat del mòbil:

$v^{2}=2a(e-e_{0})+v_{0}^{2}\,$

Deducció de la velocitat en funció del temps

Partint de la definició d'acceleració,

${dv \over dt}=a$

s'integra aquesta equació diferencial de primer ordre

$\int \limits _{v_{0}}^{v}dv=\int \limits _{t_{0}}^{t}adt$

es resol la integral

{{{1}}}

i s'integra aquesta equació diferencial lineal de primer ordre

$\int _{v_{0}}^{v}dv=\int _{t_{0}}^{t}a\,dt$

Pot ser que aquestes coordenades representin a un observador accelerat segons l'eix X, que la seva cuadriaceleración obtinguda com a derivada covariant de la cuadrivelocidad està relacionada amb el valor de la coordenada x:

$\nabla _{\mathbf {e} _{0}}\mathbf {e} _{0}=\alpha e^{-{\frac {\alpha x}{c^{2}}}}\ \mathbf {e} _{1},\qquad \mathbf {a} =(a^{0};a^{1},a^{2},a^{3})=\left(0;\alpha e^{-{\frac {\alpha x}{c^{2}}}},0,0\right)$

Horitzó de Rindler

És interessant notar que un observador uniformement accelerat té horitzó d'esdeveniments, és a dir existeix una superfície espacial (que coincideix amb la frontera del tascó de Rindler):

$H_{Rind}^{-}=\{(T,X,Y,Z)|X^{2}-c^{2}T^{2}=0\}=\{(t,x,y,z)|x=-\infty \}$

tal que la llum de l'altre costat mai aconseguiria a l'observador accelerat. Aquest horitzó de successos és del mateix tipus que l'horitzó de successos que veu un obsevador situat fora d'un forat negre. És a dir, els esdeveniments a l'altre costat de l'horitzó d'esdeveniments no poden ser vists per aquests observadors.

L'exemple de les coordenades de Rindler mostra que l'ocurrència d'un horitzó d'esdeveniments no està associada al propi espai-temps sinó a certs observadors. Les coordenades de Rindler constitueixen una cartografia de l'espai-temps pla de Minkowski. En aquest espai un observador inercial no veu cap horitzó d'esdeveniments però sí ho veu un observador accelerat.

Moviment accelerat en mecànica quàntica

En mecànica quàntica no es pot parlar de trajectòries ja que la posició de la partícula no pot determinar-se amb precisió arbitrària, per la qual cosa només existeixen anàlegs quàntics imperfectes del moviment rectilini clàssic. L'equivalent quàntic més simple de moviment uniformement accelerat és el d'una partícula quàntica (no relativista i sense espín) en un camp de forces conservatiu en el qual l'energia potencial és una funció lineal de la coordenada.

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}-xF\psi (x,t)=i{\frac {\partial \Psi (x,t)}{\partial t}}$

[[:Categoria:Cinemàtica]] [[:Categoria:Pàgines amb traduccions sense revisar]]