Usuari:Freutci/distribucio

Descomposició de funcions de distribució

En aquesta secció estudiarem l'estructura de les funcions de distribució, però partint directament d'aquestes funcions, és a dir, de les funcions que compleixen les propietats 1,2 i 3 de la definició, i recuperarem, des d'un punt de vista més general, allò que hem estudiat a la secció #Funcions de distribució de variables discretes, absolutament contínues i mixtes.

Primera descomposició

Tal com hem comentat, una funció de distribució només té un nombre finit o infinit numerable de punts de discontinuïtat; sigui $D=\{x_{i},\,i\in I\}$, amb $I\subset \mathbb {N}$ el conjunt de punts de discontinuïtat de la funció de distribució $F$, i designem per $d_{i}$ el salt de la funció $F$ en el punt $x_{i}$:

$$d_{i}=F(x_{i})-F(x_{i}^{-}).$$

Definim ${\widetilde {F}}_{d}(x)=\sum _{i:\,x_{i}\leq x}d_{i}.$

La funció ${\widetilde {F}}_{d}$ compleix les propietats 1,2 i 3 de la definició de funcions de distribució, excepte que

$$\lim _{x\to \infty }{\widetilde {F}}_{d}(x)=\sum _{i\in I}d_{i}=c\leq 1.$$

Quan $c=1$ aleshores es diu que la funció de distribució és discreta; concretament,

Definició. Es diu que ${\widetilde {F}}_{d}$ és una funció de distribució discreta o de salts o purament discontínua si ${\widetilde {F}}_{d}=F$, és a dir, si $\sum _{i\in I}d_{i}=1.$

Quan $c<1$ direm que ${\widetilde {F}}_{d}$ és una funció de distribució defectiva (o impròpia). Definim ara

$${\widetilde {F}}_{c}(x)=F(x)-{\widetilde {F}}_{d}(x).$$

Llavors ${\widetilde {F}}_{c}$ també és una funció de distribució, defectiva, si ${\widetilde {F}}_{d}\not \equiv 0$ . Però, a més, com que hem eliminat totes les discontinuïtats de $F$, tenim que ${\widetilde {F}}_{c}$ és contínua: en tot punt $x$, ${\widetilde {F}}_{c}(x)={\widetilde {F}}_{c}(x^{-}).$
Propietat. Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de dues funcions de distribució (potser defectives),

$$F={\widetilde {F}}_{c}+{\widetilde {F}}_{d},$$

on ${\widetilde {F}}_{c}$ és contínua i ${\widetilde {F}}_{d}$ una funció discreta.

Podem normalitzar les funcions ${\widetilde {F}}_{c}$ i ${\widetilde {F}}_{d}$ per tal d'obtenir una descomposició amb funcions de distribució: Suposem que $\lim _{x\to \infty }{\widetilde {F}}_{d}(x)=c\in (0,1).$ Definim

$$F_{d}={\frac {1}{c}}\,{\widetilde {F}}_{d}\quad {\text{i}}\quad F_{c}={\frac {1}{1-c}}\,{\widetilde {F}}_{c},$$

que són ambdues funcions de distribució. Quan $c=0$ llavors prenem $\ F_{c}=F$, i quan $c=1$ llavors prenem $F_{d}=F$ .

Teorema. Sigui $F$ una funció de distribució. Aleshores $F$ es descompon de forma única com a suma d'una funció de distribució contínua i una funció de distribució discreta: $$F=c\,F_{c}+(1-c)\,F_{d},$$ on $c\in [0,1]$.

Funcions de distribució singulars

Considerem una funció $h:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ monòtona creixent. Aleshores un conegut teorema de Lebesgue afirma que $h$ es pot derivar en quasi tots els punts (Lebesgue) , la funció derivada $h'$ és mesurable (Lebesgue) i per qualsevol $a<b$ ,

$$\int _{a}^{b}h'(x)\,dx\leq h(b)-h(a),$$

on a l'integral és una integral de Lebesgue.

Llavors, una funció de distribució té derivada en quasi tots punts.

Definició. Direm que una funció de distribució $F$ és singular si $F'(x)=0$ en quasi tots els punts.

Observació. Qualsevol funció de distribució esglaonada (per exemple, la d'una variable binomial o Poisson) és singular. El que és interessant és que existeixen distribucions contínues singulars: per exemple, la distribució de Cantor construïda a partir de la funció de Cantor té una funció de distribució que és contínua, però la seva derivada és zero quasi en tots els punts. Es tracta d'una funció de distribució singular.

Funcions de distribució absolutament contínues

Recordem que una funció $G:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ es diu que és absolutament contínua si donat qualsevol $\varepsilon >0$ existeix $\delta >0$ tal que per qualsevol família finita d'intervals oberts disjunts dos a dos $(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{n},b_{n})$ tals que

$$\sum _{i=1}^{n}(b_{i}-a_{i})<\delta ,$$

es té que

$$\sum _{i=1}^{n}\vert G(b_{i})-G(a_{i})\vert <\varepsilon .$$

Les funcions de distribució que compleixen la propietat anterior es poden identificar amb les integrals indefinides de Lebesgue. Concretament tenim

Teorema. Una funció de distribució és absolutament contínua si i només sí $F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt,$ per a una funció $f\geq 0$ integrable (Lebesgue), que s'anomena una funció de densitat. La funció de densitat $f$ és única quasi en tot punt (Lebesgue); en altres paraules, si $g:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R}$ és mesurable, i $f(x)=g(x)$ quasi per tot $x$ (Lebesgue), aleshores $g$ també és una funció de densitat de $F$ . Es pot prendre $f=F'$

Evidentment, aquest teorema també val per funcions de distribució defectives.

Segona descomposició

Continuant amb les notacions de la primera descomposició, suposem que la part contínua no és nul·la: ${\widetilde {F}}_{c}\not \equiv 0$ i considerem la seva derivada ${\widetilde {F}}'_{c}$ . Definim la component absolutament contínua de $F$ per

$${\widetilde {F}}_{ac}(x)=\int _{-\infty }^{x}{\widetilde {F}}'_{c}(t)\,dt.$$

Finalment, definim la component singular $F$ per

$${\widetilde {F}}_{s}={\widetilde {F}}_{c}-{\widetilde {F}}_{ac}.$$

Cal notar que ${\widetilde {F}}_{s}$ és contínua singular. Ajuntant-ho amb la primera descomposició tenim:

Propietat. Tota funció de distribució es descompon de forma única en suma de tres funcions de distribució (potser defectives),

$$F={\widetilde {F}}_{d}+{\widetilde {F}}_{ac}+{\widetilde {F}}_{s},$$

on ${\widetilde {F}}_{d}$ és una funció discreta, ${\widetilde {F}}_{c}$ absolutament contínua i ${\widetilde {F}}_{s}$ és contínua singular.

Igual que hem fet amb la primera descomposició, si suposem $\lim _{x\to \infty }{\widetilde {F}}_{d}(x)=c\in (0,1)$ i $\lim _{x\to \infty }{\widetilde {F}}_{ac}(x)=d\in (0,1)$ podem definir

$$F_{sd}={\frac {1}{d}}\,{\widetilde {F}}_{sd}\quad {\text{i}}\quad F_{s}={\frac {1}{1-d}}\,{\widetilde {F}}_{s},$$

i llavors tenim

$$F=\alpha \,F_{d}+\beta F_{ac}+\gamma F_{s},$$

on

$$\alpha =1-c,\quad \beta =c\,d\quad {\text{i}}\quad \gamma =c\,(1-d).$$

Fem uns convenis anàlegs als de la primera descomposició quan $c$ i $d$ són 0 o 1. Tenim:

Teorema. Sigui $F$ una funció de distribució. Aleshores $F$ es descompon de forma única com a suma de tres funcions de distribució, una discreta, una absolutament contínua i una singular contínua: $$F=\alpha \,F_{d}+\beta F_{ac}+\gamma F_{s},$$ amb $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma \geq 0$ i $\alpha +\beta +\gamma =1$.

Llavors: 

• Si $\alpha =1$ (i naturalment els altres paràmetres 0) llavors $F$ és una funció de distribució discreta.
• Si $\alpha =0$ llavors $F$ és una funció de distribució contínua.

- Si $\alpha =0\ {\text{i}}\ \gamma =0$ llavors $F$ és una funció de distribució absolutament contínua.

- Si $\alpha =0\ {\text{i}}\ \beta =0$ llavors $F$ és una funció de distribució singular contínua.

Exemple. Considerem de nou l'exemple que hem vist de la variable aleatòria de tipus mixt. La seva funció de distribució és

$$F(x)={\begin{cases}0,&{\text{si}}\ x<0,\\{\dfrac {1}{2}}+{\dfrac {x}{2}},&{\text{si}}\ 0\leq x\leq 1,\\1,&{\text{si}}\ x\geq 1.\end{cases}}$$

(vegeu la Figura 6). Aquesta funció té una discontinuïtat en el punt 0, amb un salt d'altura 1/2. Llavors,

$${\widetilde {F}}_{d}(x)={\begin{cases}0,&{\text{si }}x<0,\\{\dfrac {1}{2}},&{\text{si }}x\geq 0.\end{cases}}$$

Notem que es tracta d'una funció de distribució defectiva ja que $\lim _{x\to \infty }{\widetilde {F}}_{d}(x)=1/2$. La part absolutament contínua és definida per la densitat (defectiva, ja que la seva integral sobre tot $\mathbb {R}$ no és 1)

$${\widetilde {f}}(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{2}},&{\text{si }}x\in (0,1),\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Normalitzant aquestes funcions defectives tenim

$$F(x)={\frac {1}{2}}F_{d}(x)+{\frac {1}{2}}F_{ac}(x),$$

on

$$F_{d}(x)={\begin{cases}0,&{\text{si }}x<0,\\1,&{\text{si }}x\geq 0.\end{cases}}$$

i $F_{ac}$té funció de densitat

$$f(x)={\begin{cases}1,&{\text{si }}x\in [0,1],\\0,&{\text{en cas contrari.}}\end{cases}}$$

Així,

$$F_{ac}(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,dt={\begin{cases}0,&{\text{si }}x\leq 0,\\x,&{\text{si }}x\in (0,1),\\1,&{\text{si }}x\geq 1.\end{cases}}$$

Interpretació probabilística de la descomposició. La funció de distribució discreta $F_{d}$ correspon a una variable aleatòria degenerada en el zero. La funció $F_{ac}$ correspon a una variable uniforme en l'interval $(0,1)$. Sigui $U$ una variable aleatòria uniforme en l'interval $(0,1)$ i sigui $R$ una variable aleatòria que utilitzarem per triar a l'atzar entre 0 i $U$, independent d' $U$; concretament, sigui $R$ de Bernoulli de paràmetre p=1/2, independent de $U$  :

$$P(R=0)=P(R=1)={\frac {1}{2}}.$$

Aleshores la variable aleatòria

$$X={\begin{cases}0,&{\text{si }}R=0,\\U,&{\text{si }}R=1,\end{cases}}$$

té funció de distribució $F$ .

Demostració

Designem per $F_{X}$ la funció de distribució de $X$. Volem veure que $F_{X}=F.$ Si $x<0$, és clar que $F_{X}(x)=0$, i si $x\geq 1$, que $F_{X}(x)=1$. Per a $x\in [0,1)$ aplicarem el teorema de les probabilitats totals: $F_{X}(x)=P(X\leq x)=P(X\leq x|R=0)\,P(R=0)+P(X\leq x|R=1)\,P(R=1)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}P(U\leq x)={\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2}}.$

Interpretació probabilística de la descomposició en el cas general

Considerem una funció de distribució que es descompon de la forma

$$F=\alpha \,F_{d}+\beta F_{sd}+\gamma F_{s},$$

amb $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma >0$ (recordem que $\alpha +\beta +\gamma =1$) . Siguin $X_{1},\,X_{2}$ i $X_{3}$ tres variables independents, $X_{1}$ (respectivament $X_{2}$ i $X_{3}$) amb funció de distribució $F_{d}$ (resp. $F_{as}$ i $F_{s}$), i $S$ una altra variable aleatòria independent de les anteriors, tal que

$$P(S=1)=\alpha ,\ P(S=2)=\beta \ {\text{i}}\ P(S=3)=\gamma .$$

Aleshores la variable aleatòria

$$X={\begin{cases}X_{1},&{\text{si }}S=1,\\X_{2},&{\text{si }}S=2,\\X_{3},&{\text{si }}S=3,\end{cases}}$$

té funció de distribució $F$.

Referències

• Athreya, Krishna B. Measure theory and probability theory. New York: Springer, 2006. ISBN 0-387-32903-X. 

• Chung, Kai Lai. A course in probability theory. 3rd ed. San Diego: Academic Press, 2001. ISBN 978-0-08-052298-2. 

• Royden, H. L.. Real analysis. 3rd ed. New York: Macmillan, 1988. ISBN 0-02-404151-3.