Obre el menú principal

Variable aleatòria

(S'ha redirigit des de: Variable estadística)

DefinicióModifica

Designem per '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' el conjunt de resultats possibles d'un experiment aleatori. Una variable aleatòria és una aplicació '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"'. Vegeu la definició formal a la darrera secció

Quant a la notació, la variable aleatòria se sol indicar amb '"`UNIQ--postMath-00000003-QINU`"' (en majúscules) i el valor observat d'aquesta variable aleatòria se sol indicar amb '"`UNIQ--postMath-00000004-QINU`"' (és a dir, en minúscules).

Es diu "aleatòria" perquè el seu domini és constituït pels resultats d'un experiment influït per l'atzar i se'n diu "variable" perquè pren valors numèrics que varien (d'acord amb la probabilitat). Cal dir, però, que la paraula variable és una mica confosa, ja que, com hem comentat, una variable aleatòria és una funció o aplicació, i no es correspon al que en altres parts de la matemàtica s'anomena la variable d'una funció.


Exemple

Considerem l'experiència aleatòria del llançament de dos daus. El conjunt de resultats possibles d'aquesta experiència és:'"`UNIQ--postMath-00000005-QINU`"' on el parell '"`UNIQ--postMath-00000006-QINU`"' vol dir que al primer dau (dau1) hem obtingut el resultat '"`UNIQ--postMath-00000007-QINU`"' i al segon dau (dau2) hem obtingut el resultat '"`UNIQ--postMath-00000008-QINU`"'. En general els elements de '"`UNIQ--postMath-00000009-QINU`"' es designen per '"`UNIQ--postMath-0000000A-QINU`"'.

Podem considerar la variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-0000000B-QINU`"' que a cada resultat de l'experiència li assigna la suma dels punts dels dos daus, és a dir:

'"`UNIQ--postMath-0000000C-QINU`"'

D'aquesta manera tenim una aplicació '"`UNIQ--postMath-0000000D-QINU`"'. Per exemple, el resultat '"`UNIQ--postMath-0000000E-QINU`"' (és a dir, dau1=1 i dau2=3} tindrà assignat el valor real 4: '"`UNIQ--postMath-0000000F-QINU`"'.

Els valors possibles de la variable aleatòria serien: '"`UNIQ--postMath-00000010-QINU`"'.

S'escriu '"`UNIQ--postMath-00000011-QINU`"' per indicar l'esdeveniment format pels resultats '"`UNIQ--postMath-00000012-QINU`"' que fan que '"`UNIQ--postMath-00000013-QINU`"'. Per exemple, '"`UNIQ--postMath-00000014-QINU`"'


Tipus de variables aleatòriesModifica

Estudiarem tres tipus de variables aleatòries: discretes, contínues (de fet, absolutament contínues) i mixtes.

Variables aleatòries discretesModifica

Una variable aleatòria s'anomena discreta si pot prendre un nombre finit o infinit numerable de valors.

ExemplesModifica
  1. La variable aleatòria que hem vist anteriorment del llançament de dos daus: '"`UNIQ--postMath-00000015-QINU`"'=suma dels punts dels dos daus, i que pot prendre un nombre finit de valors: 2,3, ...,12.
  2. Una variable aleatòria amb distribució binomial, que per les seves aplicacions, és una de les més important de les distribucions discretes de probabilitat.
  3. Una variable aleatòria amb distribució de Poisson que pot prendre qualsevol nombre natural: 0, 1, 2,... Per tant, pot prendre un nombre infinit numerable de valors.

Moltes variables aleatòries discretes importants prenen valors enters.

Funció de probabilitat d'una variable aleatòria discreta.Modifica

Considerem una variable aleatòria discreta '"`UNIQ--postMath-00000016-QINU`"' que prengui els valors '"`UNIQ--postMath-00000017-QINU`"'Es defineix la funció de probabilitat [2](o funció de repartiment de massa de probabilitat o funció de densitat) de '"`UNIQ--postMath-00000018-QINU`"' a la funció '"`UNIQ--postMath-00000019-QINU`"'definida per'"`UNIQ--postMath-0000001A-QINU`"'Cal notar que '"`UNIQ--postMath-0000001B-QINU`"' a menys que '"`UNIQ--postMath-0000001C-QINU`"' per algun valor '"`UNIQ--postMath-0000001D-QINU`"'.


 
Funció de probabilitat de la variable aleatòria "suma dels valors del llançament de dos daus"

Exemple. En el cas dels dos daus tenim, per exemple, que '"`UNIQ--postMath-0000001E-QINU`"' perquè l'esdeveniment '"`UNIQ--postMath-0000001F-QINU`"' té com a únic cas favorable {dau1=1 i dau2=1}. Anàlogament, es calculen els altres valors de la funció de probabilitat:

'"`UNIQ--postMath-00000020-QINU`"'i '"`UNIQ--postMath-00000021-QINU`"'.

La funció de probabilitat '"`UNIQ--postMath-00000022-QINU`"' determina totes les probabilitats relacionades amb '"`UNIQ--postMath-00000023-QINU`"':'"`UNIQ--postMath-00000024-QINU`"'Continuant amb l'exemple anterior, la probabilitat d'obtenir una suma dels dos daus menor o igual a 7 serà:'"`UNIQ--postMath-00000025-QINU`"' Funció de distribució d'una variable discreta

Donada una variable aleatòria general '"`UNIQ--postMath-00000026-QINU`"' la seva funció de distribució [3] és la funció '"`UNIQ--postMath-00000027-QINU`"' definida per'"`UNIQ--postMath-00000028-QINU`"' Aquest funció permet unificar l'estudi de diverses propietats de les variables aleatòries (vegeu la secció Definició formal de variable aleatòria).

En particular, per a una variable discreta , amb les notacions anteriors, la seva funció de distribució vindrà donada per'"`UNIQ--postMath-00000029-QINU`"'

ExempleModifica

Suposem que llencem dues monedes a l'aire. Indiquem una cara amb c i una creu amb s. Els possibles resultats de l'experiment són observar dues cares (cc), una cara seguida d'una creu (cs), una creu seguida d'una cara (sc) i dues creus (ss). Així,

'"`UNIQ--postMath-0000002A-QINU`"'

Sigui X la variable aleatòria que compta el nombre de cares obtingudes en el llançament. És a dir, X és la següent funció:

'"`UNIQ--postMath-0000002B-QINU`"'

donada per

'"`UNIQ--postMath-0000002C-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000002D-QINU`"'
'"`UNIQ--postMath-0000002E-QINU`"'

El conjunt possibles valors de X és {0, 1, 2}. O sigui, és una variable discreta, ja que només pot prendre els valors 0, 1 i 2.

 
Figura 1. Funció de probabilitat

La funció de probabilitat és '"`UNIQ--postMath-0000002F-QINU`"', i '"`UNIQ--postMath-00000030-QINU`"' per a '"`UNIQ--postMath-00000031-QINU`"'. Vegeu la Figura 1.

La funció de distribució ve donada per

'"`UNIQ--postMath-00000032-QINU`"'.


 
Figura 2. Funció de distribució.

Vegeu la Figura 2.


Variables aleatòries contínuesModifica

Entre les variables aleatòries que poden prendre un nombre de valors que no es poden enumerar, per exemple, una variable que pugui prendre qualsevol nombre real, tenen especial importància les variables aleatòries que tenen funció de densitat, que informalment també s'anomenen variables aleatòries contínues.

Una variable aleatòria es diu que és contínua (de fet, s'hauria de dir absolutament contínua o variable contínua amb densitat) si existeix una funció '"`UNIQ--postMath-00000033-QINU`"' que compleix

  1. '"`UNIQ--postMath-00000034-QINU`"'
  2. '"`UNIQ--postMath-00000035-QINU`"' és integrable i '"`UNIQ--postMath-00000036-QINU`"' és a dir, l'àrea total entre la gràfica de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1. Vegeu la Figura 3.
     
    Figura 3. L'àrea entre la corba de la funció de densitat i l'eix d'abscisses és 1.

3. Per a '"`UNIQ--postMath-00000037-QINU`"',

 
Figura 4. Relació entre la probabilitat i l'àrea sota la corba de la funció de densitat

'"`UNIQ--postMath-00000038-QINU`"'És a dir, la probabilitat que la variable prengui un valor de l'interval '"`UNIQ--postMath-00000039-QINU`"' és l'àrea de la zona limitada pel gràfic de la funció'"`UNIQ--postMath-0000003A-QINU`"', l'eix de les x i l les rectes x=a i x=b.Vegeu la Figura 4.

La funció '"`UNIQ--postMath-0000003B-QINU`"' s'anomena funció de densitat de '"`UNIQ--postMath-0000003C-QINU`"'. La funció de distribució és

'"`UNIQ--postMath-0000003D-QINU`"'

i '"`UNIQ--postMath-0000003E-QINU`"' és contínua (de fet és absolutament contínua). Noteu que per a qualsevol valor '"`UNIQ--postMath-0000003F-QINU`"''"`UNIQ--postMath-00000040-QINU`"'


Moltes de les variables d'estudis estadístics reals poden ser formalitzades amb el model d'una variable aleatòria contínua:

  • La mesura del temps d'avanç o retard amb què un tren arriba a la seva destinació.
  • El pes dels nadons en una població.
  • Les alçades de la població adulta.
  • La fracció de massa que s'ha desintegrat per unitat de temps en una substància radioactiva.

ExemplesModifica

  1. El pes d'una persona és una variable contínua, assumint que podem mesurar el pes amb infinita precisió. Per exemple, podríem caracteritzar el pes amb una distribució normal amb mitjana 70 i desviació estàndard 10.
  2. Distribució uniforme en un interval '"`UNIQ--postMath-00000041-QINU`"'. La funció de densitat ve definida per:

'"`UNIQ--postMath-00000042-QINU`"'

i la funció de disribució és

'"`UNIQ--postMath-00000043-QINU`"'


3. Com a exemple de l'anterior podem considerar el següent: Per una parada d'autobussos en passa, amb absoluta regularitat, un cada 10 minuts, Si '"`UNIQ--postMath-00000044-QINU`"' representa el temps que ha d'esperar una persona que arriba aleatòriament a la parada, aleshores '"`UNIQ--postMath-00000045-QINU`"' té una distribució uniforme a l'interval '"`UNIQ--postMath-00000046-QINU`"' . La funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-00000047-QINU`"' que es mostra al gràfic de la Figura 5.

 
Figura 5. Funció de densitat de probabilitat de la variable aleatòria "temps espera parada autobusos"


El valor de f(x) per a l'interval de temps '"`UNIQ--postMath-00000048-QINU`"' s'ha fixat de manera que l'àrea sota la funció sigui 1.

Si una persona arriba a la parada aleatòriament, quina és la probabilitat que hagi d'esperar-se 7 minuts o més?

La resposta s'obté calculant l'àrea del rectangle ombrejat. El valor de '"`UNIQ--postMath-00000049-QINU`"' serà, doncs, 3x0.1=0,3.


Variables aleatòries mixtesModifica

 
Figura 6. Mecanisme aleatori que genera una variable aleatòria mixta

Hi ha variables aleatòries que són una combinació dels dos tipus anteriors. Per exemple, considerem un mecanisme aleatòri com el de la Figura 6: si l'agulla va a parar a la zona de l'esquerra (àrea grisa) aleshores s'obté un 0; si va a parar a la zona de la dreta, aleshores s'obté un número entre 0 i 1 amb distribució uniforme. Anomenen '"`UNIQ--postMath-0000004A-QINU`"' el resultat, que és una variable aleatòria que pot prendre un nombre no numerable de valors, i per tant no és discreta, però d'altra banda '"`UNIQ--postMath-0000004B-QINU`"', i tampoc és contínua. Notem que per a '"`UNIQ--postMath-0000004C-QINU`"','"`UNIQ--postMath-0000004D-QINU`"'En particular, per '"`UNIQ--postMath-0000004E-QINU`"' Aleshores la funció de distribució '"`UNIQ--postMath-0000004F-QINU`"' valdrà:

 
Figura 7. Funció de distribució d'una variable de tipus mixt

'"`UNIQ--postMath-00000050-QINU`"'Vegeu la Figura 7.


Paràmetres de les variables aleatòriesModifica

Estudiarem dos paràmetres per mesurar numèricament "el centre" i "la dispersió" d'una variable aleatòria. Vegeu esperança matemàtica i variància

Variable aleatòria discretaModifica

MitjanaModifica

La mitjana o esperança matemàtica '"`UNIQ--postMath-00000051-QINU`"' d'una variable aleatòria discreta '"`UNIQ--postMath-00000052-QINU`"' es defineix en termes de la funció de probabilitat:

'"`UNIQ--postMath-00000053-QINU`"'sempre que '"`UNIQ--postMath-00000054-QINU`"'.

La suma s'estén a tots els posibles valors '"`UNIQ--postMath-00000055-QINU`"'de la variable aleatòria.

En l'exemple dels dos daus val: '"`UNIQ--postMath-00000056-QINU`"'

La mitjana d'una variable aleatòria rep també el nom de valor esperat (o esperança) i es representa '"`UNIQ--postMath-00000057-QINU`"'

VariànciaModifica

En teoria de la probabilitat i estadística, Variància és un paràmetre estadístic que mesura la dispersió d'una variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-00000058-QINU`"' respecte la seva mitjana o esperança '"`UNIQ--postMath-00000059-QINU`"'.[4]

'"`UNIQ--postMath-0000005A-QINU`"'sempre que '"`UNIQ--postMath-0000005B-QINU`"'

En el cas discret es calcula per la fórmula'"`UNIQ--postMath-0000005C-QINU`"'

La variància és el quadrat d'una altre paràmetre de dispersió, la desviació tipus '"`UNIQ--postMath-0000005D-QINU`"', és a dir: '"`UNIQ--postMath-0000005E-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-0000005F-QINU`"'.

La variància és representa mitjançant '"`UNIQ--postMath-00000060-QINU`"', '"`UNIQ--postMath-00000061-QINU`"', o simplement '"`UNIQ--postMath-00000062-QINU`"'.

La variància té un paper central en: estadística descriptiva, inferència estadística, test d'hipòtesi, mètode Monte Carlo,...

És també molt important en les ciències que utilitzen freqüentment l'anàlisi estadística de les dades.

Variable aleatòria contínuaModifica

MitjanaModifica

La mitjana o valor esperat '"`UNIQ--postMath-00000063-QINU`"' d'una variable aleatòria contínua'"`UNIQ--postMath-00000064-QINU`"' es defineix en termes de la funció de densitat de probabilitat:

'"`UNIQ--postMath-00000065-QINU`"'

VariànciaModifica

La variància es defineix per la fórmula:

'"`UNIQ--postMath-00000066-QINU`"'

Funcions de variables aleatòriesModifica

Aplicar una funció a una variable aleatòria resulta en una variable aleatòria. Més concretament, si tenim una variable aleatòria X i una funció mesurable g: RR, aleshores Y = gX) també és una variable aleatòria (vegeu a la darrera secció les condicions formals). La funció de distribució de Y és

'"`UNIQ--postMath-00000067-QINU`"'

Exemple 1Modifica

Sigui X una variable aleatòria contínua que pren valors en els nombres reals, i sigui Y = X2. Aleshores, Y és una variable aleatòria amb funció de distribució

'"`UNIQ--postMath-00000068-QINU`"'

Si y < 0, aleshores P(X2y) = 0, i per tant

'"`UNIQ--postMath-00000069-QINU`"'

Si y ≥ 0, aleshores

'"`UNIQ--postMath-0000006A-QINU`"'

i per tant

'"`UNIQ--postMath-0000006B-QINU`"'

Exemple 2Modifica

Suposem que '"`UNIQ--postMath-0000006C-QINU`"' és una variable aleatòria amb funció de distribució

'"`UNIQ--postMath-0000006D-QINU`"'

on '"`UNIQ--postMath-0000006E-QINU`"' és un paràmetre fixat. Considerem la variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-0000006F-QINU`"' Aleshores, si '"`UNIQ--postMath-00000070-QINU`"',

'"`UNIQ--postMath-00000071-QINU`"'

La darrera expressió pot calcular-se en termes de la funció de distribució d''"`UNIQ--postMath-00000072-QINU`"' i per tant

'"`UNIQ--postMath-00000073-QINU`"'
Si '"`UNIQ--postMath-00000074-QINU`"' '"`UNIQ--postMath-00000075-QINU`"'


Definició formal de variable aleatòriaModifica

Considerem un espai de probabilitat '"`UNIQ--postMath-00000076-QINU`"', on '"`UNIQ--postMath-00000077-QINU`"' és un conjunt, '"`UNIQ--postMath-00000078-QINU`"' és una σ-àlgebra sobre '"`UNIQ--postMath-00000079-QINU`"' (la família d'esdeveniments) i '"`UNIQ--postMath-0000007A-QINU`"' és una probabilitat. Designem per '"`UNIQ--postMath-0000007B-QINU`"' la σ-àlgebra de Borel sobre els nombres reals '"`UNIQ--postMath-0000007C-QINU`"'. Una variable aleatòria[5] és una aplicació '"`UNIQ--postMath-0000007D-QINU`"' que és '"`UNIQ--postMath-0000007E-QINU`"' mesurable, és a dir, que per qualsevol '"`UNIQ--postMath-0000007F-QINU`"',

'"`UNIQ--postMath-00000080-QINU`"'

En les expressions com (1), els elements '"`UNIQ--postMath-00000081-QINU`"' no s'acostumen a escriure (però cal tenir-los sempre presents), de manera que s'escriu '"`UNIQ--postMath-00000082-QINU`"' en lloc de '"`UNIQ--postMath-00000083-QINU`"', o bé es posa

'"`UNIQ--postMath-00000084-QINU`"'

o altres expressions similars.

Donada l'estructura de la '"`UNIQ--postMath-00000085-QINU`"'-algebra de Borel '"`UNIQ--postMath-00000086-QINU`"' sobre els nombres reals, per demostrar la condició (1) n'hi ha prou amb comprovar-la per a qualsevol classe d'intervals de la forma '"`UNIQ--postMath-00000087-QINU`"' o '"`UNIQ--postMath-00000088-QINU`"', etc.[5] Molts autors prenen aquest darrer tipus d'interval, de manera que la condició de variable aleatòria es pot formular:

'"`UNIQ--postMath-00000089-QINU`"'

Cas d'espais finits o numerablesModifica

Quan el conjunt '"`UNIQ--postMath-0000008A-QINU`"' és finit o infinit numerable, en molts casos es pot prendre com '"`UNIQ--postMath-0000008B-QINU`"'-àlgebra d'esdeveniments '"`UNIQ--postMath-0000008C-QINU`"' el conjunt de les parts de '"`UNIQ--postMath-0000008D-QINU`"'. Llavors [6], qualsevol aplicació '"`UNIQ--postMath-0000008E-QINU`"' compleix la condició de mesurabilitat (1), i per tant en aquest cas, la definició intuïtiva del principi i la formal coincideixen.

Operacions amb variables aleatòriesModifica

  1. Si '"`UNIQ--postMath-0000008F-QINU`"' i '"`UNIQ--postMath-00000090-QINU`"' són dues variables aleatòries, aleshores [7] '"`UNIQ--postMath-00000091-QINU`"' son variables aleatòries, i si '"`UNIQ--postMath-00000092-QINU`"' per tot '"`UNIQ--postMath-00000093-QINU`"', aleshores '"`UNIQ--postMath-00000094-QINU`"' també és una variable aleatòria.

2. Si '"`UNIQ--postMath-00000095-QINU`"' és una successió de variables aleatòries tals que per tot '"`UNIQ--postMath-00000096-QINU`"' la successió numèrica '"`UNIQ--postMath-00000097-QINU`"' convergeix, aleshores la funció '"`UNIQ--postMath-00000098-QINU`"' definida per

'"`UNIQ--postMath-00000099-QINU`"'

també és una variable aleatòria.[7]

3. Sigui '"`UNIQ--postMath-0000009A-QINU`"' una variable aleatòria i '"`UNIQ--postMath-0000009B-QINU`"' una funció mesurable respecte la '"`UNIQ--postMath-0000009C-QINU`"' -àlgebra de Borel. Aleshores '"`UNIQ--postMath-0000009D-QINU`"' també és una variable aleatòria [8].

Observacions:

  1. La funció '"`UNIQ--postMath-0000009E-QINU`"' no cal que estigui definida a tot '"`UNIQ--postMath-0000009F-QINU`"', sinó només al conjunt on pren valors la variable '"`UNIQ--postMath-000000A0-QINU`"'. Per exemple, si '"`UNIQ--postMath-000000A1-QINU`"' és discreta, '"`UNIQ--postMath-000000A2-QINU`"' ha d'estar definida en el conjunt '"`UNIQ--postMath-000000A3-QINU`"' dels punts tals que '"`UNIQ--postMath-000000A4-QINU`"'. O si '"`UNIQ--postMath-000000A5-QINU`"' és una variable no negativa, aleshores '"`UNIQ--postMath-000000A6-QINU`"' n'hi ha prou que estigui definida a '"`UNIQ--postMath-000000A7-QINU`"'.
  2. Tota funció contínua és Borel mesurable.[8]


Funció de distribució d'una variable aleatòriaModifica

Donada una variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-000000A8-QINU`"' la seva funció de distribució [3] és la funció '"`UNIQ--postMath-000000A9-QINU`"' definida per'"`UNIQ--postMath-000000AA-QINU`"' Té les següents propietats[9]:

  1. La funció '"`UNIQ--postMath-000000AB-QINU`"' és no decreixent: '"`UNIQ--postMath-000000AC-QINU`"'
  2. La funció '"`UNIQ--postMath-000000AD-QINU`"' és contínua per la dreta i té límits per l'esquerra en tot punt.
  3. '"`UNIQ--postMath-000000AE-QINU`"'
  4. '"`UNIQ--postMath-000000AF-QINU`"'.
  5. '"`UNIQ--postMath-000000B0-QINU`"', on '"`UNIQ--postMath-000000B1-QINU`"' és el limit per l'esquerra de '"`UNIQ--postMath-000000B2-QINU`"' en el punt '"`UNIQ--postMath-000000B3-QINU`"'.
  6. '"`UNIQ--postMath-000000B4-QINU`"'. És a dir, '"`UNIQ--postMath-000000B5-QINU`"' és discontínua en el punt '"`UNIQ--postMath-000000B6-QINU`"' si i només si '"`UNIQ--postMath-000000B7-QINU`"'.

Com a conseqüència del punt 6, la funció de distribució d'una variable discreta és discontínua en el valors que pot prendre amb probabilitat diferent de zero. També es dedueix que la funció de distribució d'una variable aleatòria contínua és contínua a tot arreu.

Observació. Alguns autors [5] defineixen la funció de distribució per '"`UNIQ--postMath-000000B8-QINU`"'. Aquesta funció és contínua per l'esquerra

Llei o distribució d'una variable aleatòriaModifica

Una variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-000000B9-QINU`"' definida en un espai de probabilitat '"`UNIQ--postMath-000000BA-QINU`"' indueix una probabilitat, designada per '"`UNIQ--postMath-000000BB-QINU`"', sobre l'espai mesurable '"`UNIQ--postMath-000000BC-QINU`"' de la següent manera: per qualsevol '"`UNIQ--postMath-000000BD-QINU`"',

'"`UNIQ--postMath-000000BE-QINU`"'

Aquesta probabilitat '"`UNIQ--postMath-000000BF-QINU`"' s'anomena la llei o la distribució [3] de la variable aleatòria '"`UNIQ--postMath-000000C0-QINU`"', i no s'ha de confondre amb la funció de distribució '"`UNIQ--postMath-000000C1-QINU`"' que hem vist anteriorment; la seva relació ve donara per'"`UNIQ--postMath-000000C2-QINU`"'En el cas discret, la forma habitual de referir-se a la llei és mitjançant la funció de probabilitat, i en el cas absolutament continu per la funció de densitat.

Igualtat en llei (o distribució) de variables aleatòriesModifica

Diem que dues variables aleatòries '"`UNIQ--postMath-000000C3-QINU`"' (que poden estar definides en diferent espai de probabilitats) són iguals en llei o distribució si les lleis són iguals.

Exemples.Modifica
  1. Juguem amb un dau perfecte, considerem la variable '"`UNIQ--postMath-000000C4-QINU`"' que val 1 si surt parell i 0 si surt senar. Tirem una moneda perfecta; sigui '"`UNIQ--postMath-000000C5-QINU`"' la variable que pren el valor 1 si surt cara i 0 si surt creu. Ambdues variables estan definides en espais de probabilitat diferents però són iguals en llei.
  2. Dues variables poden estar definides en el mateix espai de probabilitat i ser iguals en llei, però ser distintes com aplicacions. A l'exemple inicial on tiràvem dos daus, si '"`UNIQ--postMath-000000C6-QINU`"' representa el resultat del primer dau i '"`UNIQ--postMath-000000C7-QINU`"' el del segon dau, aleshores ambdues variables són iguals en llei, però '"`UNIQ--postMath-000000C8-QINU`"'

Igualtat quasi segura de variables aleatòriesModifica

Es diu que dues variables aleatòries '"`UNIQ--postMath-000000C9-QINU`"' (definides en el mateix espai de probabilitat) són iguals quasi segurament o iguals amb probabilitat 1 si '"`UNIQ--postMath-000000CA-QINU`"'. Si dues variables són iguals quasi segurament, aleshores són iguals en llei. El recíproc no és cert, tal com mostra l'exemple 2 de l'apartat anterior.


Vegeu tambéModifica

BibliografiaModifica

  • Probabilidad y Estadística. Morris H. DeGroot, publicado por Addison-Wesley Iberoamericana. (Segunda Edición)


ReferènciesModifica

  1. Bonet, Eduard.. Fonaments d'estadística (en català). 1a ed. Barcelona: Teide, 1974, p. 67. ISBN 8430773495. 
  2. DeGroot, Morris H., 1931-. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, pp. 105-106. ISBN 0201644053. 
  3. 3,0 3,1 3,2 Bonet, Eduard.. Fonaments d'estadística (en català). 1a ed. Barcelona: Teide, 1974, p. 133. ISBN 8430773495. 
  4. Gran Enciclopèdia Catalana, Volum 23 (en català). 1980,1989. Barcelona: Enciclopèdia Catalana, p. 443. ISBN 84-85194-81-0. 
  5. 5,0 5,1 5,2 Loeve, Michel.. Teoría de la probabilidad. Madrid: Tecnos, D.L. 1976, p. 152. ISBN 8430906630. 
  6. Krickeberg, Klaus.. Teoría de la probabilidad. Barcelona: Teide, [1973], p. 25. ISBN 843077324X. 
  7. 7,0 7,1 Neveu, Jacques, (1932- ...). Bases mathématiques du calcul des probabilités. 2ème édition revue et corrigée. París: Masson et Cie, 1970, p. 35. ISBN 2225617872. 
  8. 8,0 8,1 Ash, Robert B.. Probability and measure theory. 2nd ed. San Diego: Harcourt/Academic Press, 2000, p. 36. ISBN 0120652021. 
  9. DeGroot, Morris H., 1931-. Probabilidad y estadística. 2a. ed. Wilmington, Delawere, E.U.A.: Addison-Wesley Iberoamericaca, 1988, pp. 105-106. ISBN 0201644053. 

Error de Lua a Mòdul:Authority_control a la línia 142: attempt to index global 'p' (a nil value).