Hom necessita el concepte de vector propi generalitzat per construir una base completa per una matriu defectiva, que és una matriu que té menys vectors propis linealment independents que valors propis (tenint en compte la multiplicitat). Sobre un cos algebraicament tancat, els vectors generalitzats permeten, de fet, construir una base completa, com se segueix de la forma canònica de Jordan d'una matriu.
En particular, suposem que un valor propi λ d'una matriu A té multiplicitat algebraica m però menys vectors propis (associats a λ). Formem una seqüència de m vectors propis i vectors propis generalitzats que són linealment independents i que satisfan
per alguns coeficients , on . D'aquí se segueix que
Hom sempre pot escollir aquests vectors , però aquests no estan unívocament determinats per les relacions anteriors. Si la multiplicitat geomètrica (la dimensió de l'espai propi) de λ és p, llavors hom pot escollir els p primers vectors de tal manera que siguin vectors propis, però els restants m − p vectors són només vectors propis generalitzats.
Llavors hi ha un valor propi λ=1 amb multiplicitat algebraica m igual a 2.
Existeixen diverses formes de deduir que hi ha necessàriament un vector propi generalitzat. La manera més fàcil és observar que aquesta matriu està en forma canònica de Jordan, però no és diagonal, la qual cosa significa que la matriu no és diagonalitzable. Com que hi ha una entrada a la superdiagonal, llavors deduïm que hi ha un vector propi generalitzat (o també podríem observar que l'espai vectorial és de dimensió 2, per tant només hi pot haver un vector propi generalitzat). De forma alternativa, podríem calcular la dimensió del nucli de , que és p=1, i llavors hi ha m-p=1 vector propi generalitzat.
Deixem el càlcul del vector propi (ordinari) al lector (vegeu l'article Valor propi, vector propi i espai propi per obtenir exemples). Usant aquest vector propi, calculem el vector propi generalitzat tot resolent
Si escrivim els valors:
Això se simplifica com
Al seu torn, això se simplifica com
És a dir, no té restriccions, i pot ser llavors qualsevol escalar. Així doncs, el vector generalitzat és , on * significa que qualsevol valor és adient. Per simplicitat, hom acostuma a prendre el valor 0.
té els valors propis 1 i 2 amb multiplicitats algebraiques 2 i 3, però multiplicitats geomètriques 1 i 1, respectivament.
A continuació es calculen els espais propis generalitzats de A:
Així obtenim una base per cadascun dels espais propis generalitzats de A. Combinant-los obtenim un conjunt de vectors-columna, generador de l'espai vectorial de 5 dimensions.
Considerem una matriu An×n. El determinant de A és n-lineal i alternat. Addicionalment, det(I)=1, on I és la matriu identitatn×n. A partir de la definició de determinant hom pot veure que, per a una matriu triangularT=(tij),
addició d'un múltiple escalar d'una fila a una altra.
La multiplicació d'una fila de A per un escalar α provoca que el nou determinant sigui . Si intercanviem dues files, llavors canvia el signe del determinant, i l'addició d'un múltiple escalar d'una fila a una altra no canvia el valor del determinant.
Tenim el següent teorema, que requereix una petita demostració:
Donada l'equació , podem aplicar operacions elementals fins a arribar a tenir , amb U una matriu triangular superior. Com que i , deduïm que si i només si almenys un . Si algun , llavors per substitució cap enrere (de la mateixa manera que a l'eliminació gaussiana), podem col·locar una component diferent a 0 dins x. Si, per contra, tot , la substitució cap enrere requereix que .
L'equació té una solució si i només si .
Demostració
L'equació és equivalent a .
Demostració constructiva de la forma triangular de Schur
Sigui λ1 un valor propi de la matriu A, i sigui x un vector propi associat a λ; és a dir, Ax = λ1x. Normalitzem la longitud de x de manera que |x| = 1.
Si escrivim , construïm una matriu unitària
.
Q ha de tenir x com a primera columna, i les seves columnes formen una baseortonormal de ℂn. Ara, AQ = QU1, on U1 té la forma
Suposem que la hipòtesi d'inducció és que el teorema és vàlid per qualsevol matriu (n-1)×(n-1). Amb la construcció que hem fet fins al moment, el teorema és vàlid per n=2.
Escollim una matriu unitàriaQ0, de tal manera que U0Q0 = Q0U₂, on U₂ en forma triangular superior.
Definim Q1 com:
Ara,
Resumint,
amb:
Ara, i on Q i Q1 són unitàries i U₃ és triangular superior. Per tant, . Com que el producte de dues matrius unitàries és unitari, hem completat la demostració.
Llavors, el polinomi característic de A és el mateix que el de U, i està donat per
(donat que Q és unitària).
Observem que la construcció que hem indicat en la demostració anterior ens permet escollir qualsevol ordre pels valors propis de A, que acabaran essent els elements de la diagonal de la matriu triangular U. La multiplicitat algebraica d'un valor propi és el nombre de vegades que apareix a la diagonal.
Donat un valor propi λ de multiplicitat algebraica k, podem suposar que hem construït U de tal manera que λ apareix en els k primers elements de la diagonal.
Col·loquem U-λI en forma de blocs, de la següent manera:
El bloc inferior esquerre només té elements a 0. D'altra banda, , per i = k+1, ..., n. És fàcil comprovar el següent:
on B és una matriu k×k triangular superior, amb tots els elements de diagonal i per sota de la diagonal a 0, i T és una matriu triangular superior (n-k)×(n-k), construïda a partir dels blocs de (U - λI), com hem vist abans.
Ara es comprova fàcilment que
És a dir, Bk té només elements a 0, i Tk és triangular amb elements no-nuls a la diagonal. Observem que, si multipliquem per B un vector columna v = (v1, v₂, ..., vk)T, llavors l'últim element (el k-sim) val 0. Després de dues multiplicacions per B, el penúltim element (el k-1-sim) també és zero; i així successivament.
D'aquí se segueix que (U-λI) té rang n-k, i que la dimensió del nucli és k.
Només resta notar que, com que (A-λI)k = Q(U-λI)kQT, llavors (A-λI)k té rang n-k i la dimensió del seu nucli és k. És a dir, una transformació unitària o altra de semblança mitjançant una matriu no-singular preserva el rang.
Hem demostrat el resultat principal.
Si és un valor propi d'una matriu A amb multiplicitat algebraica k, llavors el nucli de té dimensió k.
Una observació important és que el fet d'elevar (A-λI) a una potència superior a k no afecta ni el rang ni la dimensió del nucli.