Axiomes de probabilitat

En la teoria de la probabilitat, una mesura de probabilitat (o més breument probabilitat) és una aplicació que a un esdeveniment A qualsevol li associa un nombre real (notat ). Una mesura de probabilitat ha de satisfer els axiomes de probabilitat o axiomes de Kolmogórov, nomenats així en honor d'Andreï Nikolaievitch Kolmogórov, matemàtic rus que els va desenvolupar.

Una mesura de probabilitat sempre es defineix sobre un espai mesurable és a dir sobre una parella constituïda d'un conjunt d'esdeveniments, l'univers Ω, i d'una σ-àlgebra de parts de l'univers Ω. Els elements de la σ-àlgebra s'anomenen els esdeveniments. Així la mesura de probabilitat és una aplicació de en

Primer axioma modifica

Per a tot esdeveniment  :

 

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment es representa amb un nombre real comprès entre 0 i 1.

Segon axioma modifica

Si   designa l'univers associat a l'experiment aleatori en estudi,

 ,

És a dir que la probabilitat de l'esdeveniment cert, o d'obtenir qualsevol resultat de l'univers, és igual a 1. En altres paraules, la probabilitat de realitzar un o l'altre dels esdeveniments elementals és igual a 1.

Tercer axioma modifica

Tota successió d'esdeveniments dos a dos disjunts (es diu també: dos a dos incompatibles),   satisfà:

 .

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) disjunta d'esdeveniments és igual a la suma de les probabilitats d'aquests esdeveniments. Això s'anomena la σ;-additivitat, o additivitat numerable (si els esdeveniments no són dos a dos de disjunts, aquesta relació ja no és verdadera en general).

Conseqüències modifica

A partir dels axiomes, es demostren un cert nombre de propietats útils per al càlcul de les probabilitats, per exemple:

  •  
  • Si  ,   són dos esdeveniments incompatibles (o disjunts), llavors
 
  • De forma més general, si   és una família d'esdeveniments 2 a 2 incompatibles, llavors
 
  •  ;

Aquesta relació significa que la probabilitat que B es realitzi, però no A, és igual a la diferència  . Aquesta relació es desprèn del fet que B és reunió disjunta de   i de  

  • En particular, si  , llavors
 

És la propietat de creixement de la probabilitat. En efecte, en el cas particular on  , la propietat precedent s'escriu

  on el primer terme és clarament positiu o zero.
  • En el cas particular on   això dona que, per a tot esdeveniment  ,
 

Això significa que la probabilitat perquè un esdeveniment no es produeixi és igual a 1 menys la probabilitat que es realitzi; aquesta propietat es fa servir quan és més senzill determinar la probabilitat de l'esdeveniment contrari que la de l'esdeveniment mateix.

  • Per a tots els esdeveniments  ,  
 

Això significa que la probabilitat perquè un almenys dels esdeveniments   o   es realitzi és igual a la suma de les probabilitats que   es realitzi, i perquè   es realitzi, menys la probabilitat que   i   es realitzin de manera simultània. També,

 
 

que dona la probabilitat de la unió de n conjunts no necessàriament disjunts.

Límits creixents i decreixents modifica

  • Tota successió creixent d'esdeveniments   satisfà:
 

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la unió (numerable) d'esdeveniments creixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

  • Tota successió decreixent d'esdeveniments   satisfà:
 

És a dir que la probabilitat d'un esdeveniment que és la intersecció (numerable) d'esdeveniments decreixents és igual al límit de les probabilitats d'aquests esdeveniments.

Formulació a partir de la teoria de la mesura modifica

De manera equivalent, es defineix més simplement el triplet   que representa un espai de probabilitat, com una espai mesurable la mesura del qual,  , té la particularitat de tenir una massa total igual a 1:

 

En teoria de la mesura, els esdeveniments s'anomenen «conjunts mesurables».

Aquest minilèxic permet traduir els resultats de la teoria de la mesura i de la integració de Lebesgue en termes probabilistes.