Carta s'inclou en terminologia matemàtica en el sentit cartogràfic, l'objectiu és el d'unir una sèrie de cartes o "mapes" perquè ens permetin definir completament un atles o "col·lecció de mapes" de la totalitat d'un espai topològic que volem estudiar.
Per a una ampliació contextual de la definició vegeu varietats diferenciables .
1) Si
M
=
R
n
{\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}
podem veure que
(
R
n
,
i
d
:
R
n
→
R
n
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\;id:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n})}
és carta
∀
n
∈
N
:
n
>
0
{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :n>0}
.
2) Si
M
=
R
{\displaystyle M=\mathbb {R} }
podem veure que
(
(
a
,
b
)
,
i
:
(
a
,
b
)
↪
R
)
{\displaystyle ((a,b),\;i:(a,b)\hookrightarrow \mathbb {R} )}
és carta
∀
a
,
b
∈
R
:
a
<
b
{\displaystyle \forall a,b\in \mathbb {R} :a<b}
.
3) Si
M
=
R
{\displaystyle M=\mathbb {R} }
podem veure que
(
R
,
x
↦
x
3
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,\;x\mapsto x^{3})}
és carta, també ho és
x
2
n
+
1
∀
n
>
1
{\displaystyle x^{2n+1}\forall n>1}
.
Demostració:
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
és espai topològic,
∀
x
∈
R
,
∃
!
x
3
,
∃
!
x
3
{\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,\;\exists !x^{3},\exists !{\sqrt[{3}]{x}}}
, després és bijectiva i com és contínua tenim un homeomorfisme.
4) Si
M
=
S
1
⊂
R
≅
C
{\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C} }
podem veure que
(
S
1
{
i
}
,
Φ
)
{\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\Phi )}
és carta per:
Φ
:
S
1
{
i
}
⟶
(
−
3
π
2
,
π
2
)
z
⟼
θ
:=
det
−
arg
(
−
3
π
2
,
π
2
)
(
z
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\Phi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}\\&z&\longmapsto &{\theta :=\det -\arg _{(-{\frac {3\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}})}(z)}\end{matrix}}}
.
5) Si
M
=
S
1
⊂
R
≅
C
{\displaystyle M=S^{1}\subset \mathbb {R} \cong \mathbb {C} }
podem veure que
(
S
1
{
i
}
,
ψ
)
{\displaystyle (S^{1}\ \{i\},\;\psi )}
és carta per:
La projecció estereogràfica
ψ
:
S
1
{
i
}
⟶
R
z
⟼
x
:=
c
o
s
(
a
r
g
(
z
)
)
1
−
s
i
n
(
a
r
g
(
z
)
)
{\displaystyle {\begin{matrix}\psi :&{S^{1}\ \{i\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} \\&z&\longmapsto &{x:={\frac {cos(arg(z))}{1-sin(arg(z))}}}\end{matrix}}}
.
6) Si
M
=
S
n
⊂
R
n
+
1
{\displaystyle M=S^{n}\subset \mathbb {R} ^{n+1}}
podem veure que
(
S
n
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
,
Φ
)
{\displaystyle (S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\},\;\Phi )}
és carta per:
Φ
:
S
n
{
(
0
,
…
,
0
,
1
)
}
⟶
R
n
(
x
1
,
…
,
x
n
+
1
)
⟼
(
x
1
,
…
,
x
n
)
1
−
x
n
+
1
{\displaystyle {\begin{matrix}\Phi :&{S^{n}\ \{(0,\;\dots ,\;0,\;1)\}}&\longrightarrow {}&\mathbb {R} ^{n}\\&(x_{1},\;\dots ,\;x_{n+1})&\longmapsto &{\frac {(x_{1},\;\dots ,\;x_{n})}{1-x_{n+1}}}\end{matrix}}}
.