Circumferència inscrita
La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/eb/CircumferenciaInscritaPoligons_500x246.png/220px-CircumferenciaInscritaPoligons_500x246.png)
L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.
Circumferència inscrita i circumferències exinscrites en un triangle
modificaCircumferència inscrita, incentre i inradi
modificaCom que l'incentre d'un triangle equidista dels seus costats , i , els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència amb centre a l'incentre i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita, , és l'inradi.
Circumferències exinscrites, exincentres i exinradis
modificaEl mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis, , i , són els exinradis o exradis.
Inradi, exradis i àrea del triangle
modificaL'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:
Inradi i àrea del triangle
modificaEl triangle descompon en els triangles , i . A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi n'es l'altura, així, doncs, si és l'àrea del triangle ,
o sigui,
Exradis i àrea del triangle
modificaIgualment, el quadrilàter descompon en els triangles de base , i de base , tots dos d'altura l'exinradi . Si aquest quadrilàter li treiem el triangle , de base i altura , obtenim el triangle . Resulta:
Consideracions similars pels altres dos exincentres i porten a
D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.
Inradi, exinradis i circumradi d'un triangle
modificaSi és el circumradi d'un triangle d'àrea ,
Aleshores, de
resulta
Bibliografia
modifica- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0.
- Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972.
Enllaços externs
modifica- «Circumferència inscrita». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
- Weisstein, Eric W., «Incircle» a MathWorld (en anglès).