Obre el menú principal

Circumferència circumscrita

Circumferència circumscrita, , i circumcentre, , d'un polígon cíclic,

La circumferència circumscrita (o de vegades, el cercle circumscrit o circumcercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que passa per tots els vèrtexs d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena circumcentre, i el seu radi s'anomena circumradi. Un polígon que té una circumferència circumscrita s'anomena polígon cíclic o inscriptible; tots els polígons regulars simples, tots els triangles i tots els rectangles són cíclics, i un cas important són els quadrilàters cíclics.

El circumcentre d'un polígon cíclic equidista de tots els seus vèrtexs i, per tant, és la intersecció de les mediatrius dels costats del polígon.

Una qüestió relacionada amb la circumferència circumscrita és el problema del cercle més petit, que tracta de buscar el cercle d'àrea mínima que conté completament el polígon.

Circumferència circumscrita a un triangleModifica

 
Circumferència circumscrita a un triangle i ortocentre

ExistènciaModifica

Qualsevol triangle és un polígon cíclic, això és, té una circumferència circumscrita que passa pels seus tres vèrtexs. En efecte, si el punt   és la intersecció de les respectives mediatrius   i   dels costats   i   del triangle  , aquest punt   equidista dels vèrtexs   i   i dels vèrtexs   i  , o sigui que

   

Resulta

 

i el punt   també és de la mediatriu   del costat   i equidistant als tres vèrtexs  ,   i   del triangle  . En conseqüència, la circumferència   de centre   i radi

 

passa pels tres vèrtexs  ,   i   del triangle   i n'és, per tant, la circumferència circumscrita a aquest triangle, el radi   n'és el circumradi i el punt   el circumcentre.

El circumcentre d'un triangleModifica

L'anterior prova que:

  • Les tres mediatrius d'un triangle es tallen en un punt.
  • Aquest punt és el circumcentre del triangle, centre de la circumferència circumscrita.

El circumcentre jau a la recta d'Euler ensems amb el ortocentre i el baricentre del triangle.

ConstruccionsModifica

 
Segona construcció del circumcentre
  1. Per determinar el circumcentre d'un triangle, només cal construir les mediatrius de dos costats: el punt on es tallen és el circumcentre del triangle.
  2. Una altra determinació del circumcentre   és possible a partir de la mediatriu   d'un costat   del triangle  . Es tracta de construir el segment   de manera que l'angle   sigui igual a l'angle   del triangle. Per fer això només cal construir a l'exterior del triangle un segment   amb  . Aleshores, la perpendicular a   que passa pel vèrtex   talla a la mediatriu   en el punt  , que és el circumcentre del triangle[1].
 
El punt   és el circumcentre del triangle  

Aquesta darrera construcció es justifica així: si el punt   no és l'ortocentre del triangle  , aleshores, la circumferència  , amb centre a   i que passa pel vèrtex  , passa també pel vèrtex   perque el centre és a la mediatriu   i talla el costat   en un punt  . Tenim

 

i

 

perquè el triangle   és isòsceles, en el qual

 

i, com que  , resulta

 

i, en el triangle  , que també és isòsceles,

 

i, aleshores,

 

cosa impossible si no és que els punts   i   coïncideixen i el punt   és, efectivament, l'ortocentre del triangle  .

Posicions del circumcentreModifica

 
Posicions del circumcentre segons si el triangle és acutangle, rectangle o escalè

Si el triangle és acutangle, el circumcentre és a l'interior del triangle. En els triangles rectangles el segment   ha de fer un angle recte amb la mediatriu i, per tant, el circumcentre   és el punt mitjà de la hipotenusa. Finalment, en un triangle escalè, el segment   ha de fer un angle obtús amb la mediatriu i el circumcentre   és a l'exterior del triangle.

CàlculModifica

 
El circumradi i el teorema dels sinus

En els dos triangles rectangles en què la mediatriu   divideix el triangle  , la hipotenusa és el circumradi i el catet oposat a l'angle   és  , la meitat del costat  . Aleshores,

 

o sigui,

 

i, de la mateixa manera,

 

tot obtenint la relació

 

que aporta significat a les proporcions del teorema dels sinus[2] i una de les seves demostracions.

Circumradi i àrea del triangleModifica

L'àrea d'un triangle i el seu circumradi estan relacionats. Si   és l'àrea del triangle  ,

 

i, amb les relacions del teorema dels sinus,

 

obtenim

 

Circumradi i inradiModifica

Si   és l'inradi d'un triangle   d'àrea  ,

 

Aleshores, de

 

resulta

 

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. Puig Adam, 1972, p. 85.
  2. Coxeter, 1972, p. 1 i 2.

BibliografiaModifica

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externsModifica

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Circumferència circumscrita