Obre el menú principal

Circumferència inscrita en un polígonModifica

 
Circumferències   i   inscrites als polígons   i   i incentres respectius   i  

La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.

L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites en un triangleModifica

 
Circumferència inscrita   i circumferències exinscrites  ,   i   al triangle  

Circumferència inscrita, incentre i inradiModifica

Com que l'incentre   d'un triangle   equidista dels seus costats  ,   i  , els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència   amb centre a l'incentre   i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita,  , és l'inradi.

Circumferències exinscrites, exincentres i exinradisModifica

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis,  ,   i  , són els exinradis o exradis.

Inradi, exradis i àrea del triangleModifica

L'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:

Inradi i àrea del triangleModifica

El triangle   descompon en els triangles  ,   i  . A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi   n'es l'altura, així, doncs, si   és l'àrea del triangle  ,

 

o sigui,

 

Exradis i àrea del triangleModifica

Igualment, el quadrilàter   descompon en els triangles   de base  , i   de base  , tots dos d'altura l'exinradi  . Si aquest quadrilàter li treiem el triangle  , de base   i altura  , obtenim el triangle  . Resulta:

 

Consideracions similars pels altres dos exincentres   i   porten a

 

D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.

Inradi, exinradis i circumradi d'un triangleModifica

Si   és el circumradi d'un triangle   d'àrea  ,

 

Aleshores, de

 

resulta

 

BibliografiaModifica

  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en espanyol). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externsModifica


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Circumferència inscrita