Circumferència inscrita

La circumferència inscrita (o de vegades, el cercle inscrit o incercle) d'un polígon que en tingui és la circumferència que és tangent a tots els costats d'aquest polígon. El centre d'aquesta circumferència s'anomena incentre, i el seu radi s'anomena inradi. Un polígon que té una circumferència inscrita s'anomena polígon tangencial; tots els polígons regulars simples i tots els triangles són polígons tangencials.

Circumferències i inscrites als polígons i i incentres respectius i

L'incentre d'un polígon tangencial equidista de tots els seus costats i, per tant, és la intersecció de les bisectrius dels angles d'aquest polígon.

Circumferència inscrita i circumferències exinscrites en un triangle

modifica
 
Circumferència inscrita   i circumferències exinscrites  ,   i   al triangle  

Circumferència inscrita, incentre i inradi

modifica

Com que l'incentre   d'un triangle   equidista dels seus costats  ,   i  , els tres segments perpendiculars a cadascun dels costats tirats des de l'incentre són iguals i són radis d'una circumferència   amb centre a l'incentre   i tangent a cadascun dels costats del triangle en els peus d'aquestes perpendiculars. Aquesta circumferència és la circumferència inscrita al triangle (també: cercle inscrit o incercle). El radi de la circumferència inscrita,  , és l'inradi.

Circumferències exinscrites, exincentres i exinradis

modifica

El mateix s'esdevé amb els exincentres, que són els respectius centres de tres circumferències tangents a un costat i les prolongacions dels altres dos, a l'exterior del triangle. Aquestes circumferències són les circumferències exinscrites al triangle (també: cercles exinscrits, exincercles o excercles). Els respectius radis,  ,   i  , són els exinradis o exradis.

Inradi, exradis i àrea del triangle

modifica

L'inradi i els exinradis tenen una relació senzilla amb l'àrea del triangle:

Inradi i àrea del triangle

modifica

El triangle   descompon en els triangles  ,   i  . A cadascun d'aquests tres triangles podem considerar que un costat n'es la base i l'inradi   n'es l'altura, així, doncs, si   és l'àrea del triangle  ,

 

o sigui,

 

Exradis i àrea del triangle

modifica

Igualment, el quadrilàter   descompon en els triangles   de base  , i   de base  , tots dos d'altura l'exinradi  . Si aquest quadrilàter li treiem el triangle  , de base   i altura  , obtenim el triangle  . Resulta:

 

Consideracions similars pels altres dos exincentres   i   porten a

 

D'aquestes fórmules es dedueix que les circumferències exinscrites són sempre més grans que la inscrita al triangle, i que la més gran de totes és la circumferència exinscrita tangent al costat més llarg.

Inradi, exinradis i circumradi d'un triangle

modifica

Si   és el circumradi d'un triangle   d'àrea  ,

 

Aleshores, de

 

resulta

 

Bibliografia

modifica
  1. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Greitzer, Samuel L. Geometry Revisited (en anglès). Washington D. C. (USA): Mathematical Association of America, 1972. ISBN ISBN-0-88385-619-0. 
  2. Puig Adam, Pedro. Curso de Geometría Métrica (en castellà). Madrid: Biblioteca Matemática, 1972. 

Enllaços externs

modifica


A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Circumferència inscrita