Obre el menú principal

En matemàtiques, la constant de Gelfond és un nombre transcendent definit com el nombre d'Euler e elevat al nombre pi π:

[1]

Té aquest nom en honor al matemàtic rus Aleksandr Gelfond que el 1934 va provar-ne la transcendència mitjançant el teorema de Gelfond-Schneider.

La seva fracció contínua no és ni finita ni perìòdica i és ,[1] és a dir:



Demostració de la transcendènciaModifica

Segons el teorema de Gelfond-Schneider (1934), siguin a i b dos nombres algebraics, si b no és un nombre racional, llavors ab sempre serà un nombre transcendent. Aquest teorema va ser demostrat per Aleksandr Gelfond l'any 1934 i de manera independent per Theodor Schneider el 1935, resolent així el setè dels 23 problemes de Hilbert.[2]

Ara bé, ni el nombre pi ni el nombre e no són nombres algebraics, ja que no són arrels de cap polinomi no nul de coeficients racionals. Convé modificar la constant de Gelfond per obtenir una expressió compatible amb el teorema. Això es pot fer de tres maneres diferents.

Mitjançant la fórmula d'EulerModifica

Es parteix de la fórmula d'Euler:

 

Substituint la x per π/2 tindrem:

 

Elevant a i en ambdues bandes i recordant que  :

 

Elevant a -2 a banda i banda:

 

I tractant-se   d'un nombre transcendent en cumplir-se el teorema de Gelfond-Schneider, es demostra que   és un nombre transcendent.

Mitjançant forma exponencial de complexosModifica

Tenint en compte que   i que  , es té que:

 

Llavors, en ser -1 un nombre algebraic i -i un nombre algebraic no racional, es compleix el teorema de Gelfond-Schneider i es demostra que   és un nombre transcendent.

Mitjançant logaritmes complexosModifica

Partint de les propietats dels logaritmes naturals complexos, i recordant que:

 
 

Per tant, queda demostrat que   i es compleix, doncs el teorema de Gelfond-Schneider.

CàlculModifica

El valor de la constant de Gelfond té la propietat de poder-se obtenir utilitzant la següent seqüència:

Partint del valor de k0

 

I obtenint cada element de la seqüència a través de la fórmula següent

 

Un cop s'ha arribat al valor de kn desitjat, n'hi ha prou a agafar:

  [3]

Peculiaritat geomètricaModifica

El volum de la bola n-dimensional ve donada per:

 

on   és el radi i   és la funció gamma. Tota bola de dimensió parella 2n i de radi la unitat té de volum:

 

I si sumem tots els volums de les boles de dimensió parella de radi 1, obtenim la constant de Gelfond:[4]

 

Altres constants relacionadesModifica

eModifica

Elevant al quadrat l'expressió que teníem de la constant de Gelfond  , es té que:

 

Finalment elevent a  , i recordant que  

 

El valor del quadrat de la constant de Gelfond és   [5]

e-π/2Modifica

Si es parteix de:

 

i llavors s'eleva a   a banda i banda recordant que  :

 

obtenint una nova constant resultat d'elevar la constant de Gelfond a  . Aquesta constant és igual a:

  [6]

que té de coeficients de fracció contínua:

 [7]

El nombre invers multiplicatiu de   és

 [8]

que és també un nombre transcendent amb coeficients de fracció contínua:

 [7]

Noti's que els coeficients de fracció contínua deriven del cas anterior omitint-ne el primer terme.

eπ i πeModifica

eπ i πe tenen clarament valors diferents, sent eπ > πe. El valor de eπ és 23,14... i el de πe és de 22,45.... Tot i així, es pot saber que la constant de Gelfond és més gran sense haver de calcular el valor concret, a partir de la següent funció:[9]

 

Aplicant logaritmes naturals en totes dues bandes i fent la derivada implícita es té que:

 
 
 

Igualant la derivada a 0 per trobar el màxim de la funció:

 

Els extrems de la funció es trobaran quan:

 

Per tant:   ∀x≠e, i en particular:

 

I finalment si es multiplica en els dos exponents per   i s'aplica el criteri del teorema del sandvitx tenim que:

 

D'altra banda,  [10]

La seva fracció contínua és

 [11]

Constant de RamanujanModifica

El resultat d'elevar la constant de Gelfond a l'arrel de 163 (nombre primer) és la constant de Ramanujan, que té la peculiaritat de ser molt proper a un enter.[12] Això fa que es pugui confondre amb un enter aproximant-ne el valor i considerant l'error de l'instrument de càlcul. Rep el nom del matemàtic indi Srinivasa Ramanujan, Aquest nombre és també un nombre transcendent. En particular:

 [13]

Però això no només es dóna amb l'arrel de 163, també amb la de 43 i la de 67:

  •  
  •  

CuriositatsModifica

La constant de Gelfond es pot expressar també com:

 

Nombres quasi entersModifica

  • El valor de eπ: - π és molt proper a 20, i se'l considera un nombre quasi enter. Es pot constatar constatar expressant-ho de diferents maneres:
  •   [14]

Que té de coeficients de fracció contínua: {19,1,1119,11,1,2,2,2,2,1,61,3,2083,1,2,1,3,1,2,9,2...}[15]

  •  
  •   [16]

Independència algebraicaModifica

  •   i   són independents algebraicament, demostrat per Yuri V. Nesterenko.[17]

Relació amb altres constantsModifica

La constant de Gelfond satisfà l'aproximació:

 

on   és el nombre plàstic, i la diferència és de 7,8 x 10-5

ReferènciesModifica

  1. 1,0 1,1 (successió A039661 a l'OEIS)
  2. Tijdeman, Robert. «On the Gel'fond–Baker method and its applications». A: Felix E. Browder. Mathematical Developments Arising from Hilbert Problems. XXVIII.1. American Mathematical Society, 1976, p. 241–268. ISBN 0-8218-1428-1. 
  3. Borwein, J.; Bailey, D. Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st Century. A K Peters, 2004, p. 137. ISBN 1-56881-211-6. 
  4. Connolly, Francis. University of Notre Dame[Cal citació completa]
  5. (successió A216707 a l'OEIS)
  6. (successió A049006 a l'OEIS)
  7. 7,0 7,1 (successió A049007 a l'OEIS)
  8. (successió A042972 a l'OEIS)
  9. https://www.youtube.com/watch?v=9NW30GlCUlg&index=1&list=PLVV4v9aqK2R-2hyi-FCTcUsIU4mha2c5P
  10. (successió A059850 a l'OEIS)
  11. (successió A058288 a l'OEIS)
  12. http://mathworld.wolfram.com/RamanujanConstant.html
  13. (successió A060295 a l'OEIS)
  14. (successió A018938 a l'OEIS)
  15. (successió A018939 a l'OEIS)
  16. http://mathworld.wolfram.com/AlmostInteger.html
  17. Nesterenko, Y «Modular Functions and Transcendence Problems». Comptes rendus de l'Académie des sciences, 322, 10, 1996, pàg. 909–914.

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica