Obre el menú principal

IntroduccióModifica

Considerem un punt   del pla complex i la sèrie de potències en  :

 

Aquesta sèrie de potències convergeix en un cert cercle   de centre   i, doncs, hi defineix una funció holomorfa  ; escrivem   per a posar en evidència el punt de desenvolupament.

Considerem un punt   i desenvolupem   en sèrie de potències de  :

 

Si és cas que el cercle de convergència   d'aquesta darrera sèrie no sigui continugut en  , hom ha de fet obtingut una coneixença més ampla de  , mitjançant la definició:  

Aquesta definició és bé posada, perquè  .

Direm que l'extenció de   a   així obtinguda és una continuació analítica (o també un prolongament analític) de  ; direm també que   és una continuació analítica de   i viceversa.

Per exemple, es pot senzillament veure que les dues sèries de potències   i   són cadascuna una continuació analítica de l'altra. Notem que totes dues representen la funció  . Més en general, si és cas que  , definida a priori dins un conjunt obert  , es pugui restringir a un conjunt obert   i successivament   pugui ésser prolongada a un conjunt obert  , direm que la nova funció obtenida es una continuació analítica de  .

Les definicions bàsiquesModifica

Un element de funció 1holomorfa és un parell  , on   és un conjunt obert a connexió simple del pla complex,   una funció holomorfa definida en  , que pren valors en  . Dos elements   i   són conectables si existeix una successió finita

 ,

tal que  ,   i, per a tot  ,

 


Direm que   és una continuació analítica de   (o de  ). Direm també, si no hi ha possibilitat de confusió, que cada element és una continuació analítica de   (o de  ). Els elements   es diran enllaçats.

Una continuació analítica al llarg d'un camí   (per a senzillesa suposem que   sigui   a trets) és una continuació analítica   tal que  .

Cal sens dubte recordar que la continuació analítica al llarg d'un camí tancat no conserva pas, en general, els valors de la funció en un entorn del punt de partida: es tingui en compte, per exemple, la determinació   de la funció 'arrel quadrada complexa', en un entorn de  , tal que  .

Es pot veure  , en coordenades polars, com a l'aplicació que envia   cap a  , on   indica l'operació d'arrel quadrada real positiva. Intu\"\i tivament, continuem   al llarg de la circumferència unitat: després una volta compleda, és a dir un increment de   igual a  , obtenim un nou element de funció holomorfa   en un entorn de  , que ha redu\"\i t a meitat l'increment de de   l'argument de  .

Doncs,  , és a dir  . Naturalment, una altra volta de   ens porta de bell nou a l'element de partida  .

Es pot veure que el conjunt de les continuacions analítiques d'un mateix element forma de manera natural una superfície de Riemann, anomenada superfície de Riemann de l'element o també continuació analítica maximal, que existeix gràcies al Lema de Zorn.

Formació de fronteres naturalsModifica

Considerem un element de funció holomorfa  : pot succeir que, per a cada restricció   de   (és a dir,   i  ) no existeixi cap continuació analítica   de   tal que  . Si és cas, direm que   és una frontera natural per a l'element  . Considerem per exemple la série de potències

 :

gràcies al teorema de Cauchy-Hadamard ella convergeix dins el disc  , i, doncs, hi defineix una funció holomorfa  . De més,   llavors que   al llarg de l'eix real. Puix que   hom ha    .

De la mateixa manera,  , ja que   llavors que   al llarg de l'[[eix imaginari]]; de manera general,  , per a tot nombre natural  , ja que   llavors que   al llarg d'un radi del disc.

El conjunt dels punts de la forma   és dens dins el cercle  , ja que   no admet cap continuació analítica a algun punt d'aquesta corba: ella és, doncs, una frontera natural.

Observem que   pot tampoc ser continuada als punts de   com a funció meromorfa, perquè, en aquest cas,   s'anul laria en un conjunt amb un punt d'acumulació i seria, doncs, idènticament zero.