Curvatura de les varietats de Riemann

En matemàtiques, específicament en geometria diferencial, la geometria infinitesimal de la curvatura de les varietats de Riemann amb dimensió superior a 2 és massa complicada per ser descrita per un sol nombre en un punt donat. Riemann va introduir una manera abstracta i rigorosa de definir la curvatura per a aquestes varietats, ara coneguda com el tensor de curvatura de Riemann. Nocions similars han trobat aplicacions a tot arreu en geometria diferencial.

D'esquerra a dreta: una superfície de curvatura gaussiana negativa (hiperboloide), una superfície de curvatura gaussiana zero (cilindre) i una superfície de curvatura gaussiana positiva (esfera). En dimensions superiors, una varietat pot tenir diferents curvatures en diferents direccions, descrites pel tensor de curvatura de Riemann.

Per a una discussió més elemental, vegeu l'article sobre curvatura que parla de la curvatura de corbes i superfícies en 2 i 3 dimensions, així com la geometria diferencial de superfícies.

La curvatura d'una varietat pseudo-riemanniana es pot expressar de la mateixa manera amb només petites modificacions.

Maneres d'expressar la curvatura d'una varietat de Riemann: El tensor de curvatura de Riemann:

La curvatura d'una varietat de Riemann es pot descriure de diverses maneres; el més estàndard és el tensor de curvatura, donat en termes d'una connexió Levi-Civita (o diferenciació covariant) $\nabla$ i suport de mentida $[\cdot ,\cdot ]$ mitjançant la fórmula següent:

La curvatura d'una varietat de Riemann es pot descriure de diverses maneres; el més estàndard és el tensor de curvatura, donat en termes d'una connexió Levi-Civita (o diferenciació covariant) $\nabla$ i suport de mentida $[\cdot ,\cdot ]$ mitjançant la fórmula següent:

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w-\nabla _{[u,v]}w.$

Aquí $R(u,v)$ és una transformació lineal de l'espai tangent de la varietat; és lineal en cada argument. Si $u=\partial /\partial x_{i}$ i $v=\partial /\partial x_{j}$ llavors són camps vectorials de coordenades $[u,v]=0$ i per tant la fórmula es simplifica a

$R(u,v)w=\nabla _{u}\nabla _{v}w-\nabla _{v}\nabla _{u}w$

és a dir, el tensor de curvatura mesura la no commutativitat de la derivada covariant.

La transformació lineal $w\mapsto R(u,v)w$ també s'anomena transformació de curvatura o endomorfisme.