Matriu definida positiva

(S'ha redirigit des de: Definida negativa)

Dins l'entorn de l'àlgebra lineal, una matriu definida positiva és una matriu hermítica que és anàloga als nombres reals positius.

Definicions equivalentsModifica

Sigui M una matriu hermítica quadrada n × n. D'ara endavant denotarem la transposada d'una matriu o vector   com  , i el conjugat transposat,  . Aquesta matriu M es diu definida positiva si compleix amb una (i per tant, les altres) de les següents formulacions equivalents:

1. Per a tots els vectors no nuls   hem de
 .

Noteu que   és sempre real.

2. Tots els valors propis   de   són positius. (Recordem que els valors propis d'una matriu hermítica o si no, real simètrica, són reals.)
3. La forma sesquilineal hermítica definida per la relació
 

és un producte escalar a  .

4. Tots els menors principals de   són positius. O el que és equivalent; totes les matrius tenen determinants positius.
  • La superior esquerra de M de dimensió 1x1
  • La superior esquerra de M de dimensió 2x2
  • La superior esquerra de M de dimensió 3x3
  • ...
  • La superior esquerra de M de dimensió (n-1) x (n-1)
  •   en si mateixa

Anàlogament, si M és una matriu real simètrica, es reemplaça   per  , i la conjugada transposada per la transposada.

PropietatsModifica

  • Tota matriu definida positiva és invertible (el seu determinant és positiu), i la seva inversa és definida positiva.
  • Si   és una matriu definida positiva i   és un nombre real, llavors   és definida positiva.
  • Si   i   són matrius definides positives, aleshores la suma   també ho és. A més si

 , llavors   és també definida positiva.

  • Per a tota matriu definida positiva  , existeix una única matriu definida positiva   tal que  ; es denota   i es diu arrel quadrada de  .

Matrius definides negatives, semidefinides positives i indefinidesModifica

La matriu hermítica (respectivament real simètrica)   es diu:

- Definida negativa si   per a tots els vectors   (respectivament  ) no nuls

- Semidefinida positiva si   per a tot   (respectivament  )

- Semidefinida negativa si   per a tot   (respectivament  ), en altres paraules si   és semidefinida positiva

Una matriu hermítica es diu indefinida si no entra en cap de les classificacions anteriors.

Cas no hermíticModifica

Una matriu real M pot tenir la propietat x T Mx > 0 per a tot vector real no nul sense ser simètrica. La matriu

 

és un exemple. En general, tindrem x T Mx > 0 per a tot vector real no nul x si i només si la matriu simètrica ( M + M T )/2, és definida positiva.