Desigualtat de Màrkov

La desigualtat de Màrkov en teoria de probabilitat proporciona una fita superior per a la probabilitat que una funció no negativa d'una variable aleatòria sigui major o igual que una constant positiva.[1] El seu nom li ve del matemàtic rus Andrei Màrkov. La desigualtat de Màrkov relaciona les probabilitats amb l'esperança matemàtica i proporciona cotes útils-encara que habitualment poc ajustades-per a la funció de distribució d'una variable aleatòria.

TeoremaModifica

La desigualtat de Màrkov afirma que si X és una variable aleatòria qualsevol i a > 0, llavors

 

ProvaModifica

Per a qualsevol succés A, sigui IA la variable aleatòria indicadora d'A, és a dir, IA = 1 si ocorre A i és 0 en el cas contrari. Llavors

 

Per tant

 

Ara, noti's que el costat esquerre d'aquesta desigualtat coincideix amb

 

Per tant tenim

 

i com a > 0, es poden dividir dos costats entre a.

Prova alternativaModifica

Una prova més formal, relacionada amb l'anàlisi real, és la següent:

 

A la introducció de  , noti's que, ja que estem considerant la variable aleatòria només en els seus valors iguals o majors a  ,   i, per tant,  , de manera que en multiplicar   per alguna cosa més gran a un serà igual o més gran. La segona desigualtat ve d'afegir la suma  , que sempre serà positiva ja que s'integra una cosa positiva com és el valor absolut (per:   que és positiva).

ReferènciesModifica

  1. «ESPERANZA OPERADOR ESPERANZA Y MOMENTOS». [Consulta: 14 octubre 2018].