Desigualtat de Txebixov

(S'ha redirigit des de: Desigualtat de Txebixev)

La desigualtat de Txebixov és un resultat de la teoria de la mesura amb grans aplicacions a l'estudi de la probabilitat i l'estadística.

Aquest teorema pren el seu nom en honor de Pafnuti Txebixov, que proporcionà la primera demostració de la desigualtat formulada per Irénée-Jules Bienaymé.[1]

EnunciatModifica

Enunciat en el context de la teoria de la mesuraModifica

Sigui (X, Σ, μ) un espai mesurable i sigui f una funció real mesurable definida a X. Aleshores, per a tot nombre real t > 0,

 

De forma més general, si g és una funció real mesurable, no-negativa i creixent al rang de ƒ, aleshores

 

Podem obtenir la primera de les formulacions definint g(t) com

 

i agafant |ƒ| en lloc de ƒ a la segona expressió.

Enunciat probabilisticModifica

En tant que un espai de probabilitats és un espai de mesura 1, retrobem un cas particular de la Desigualtat de Txebixef:

Sigui X una variable aleatòria no-negativa i   una funció creixent tal que   (on   indica l'esperança de la variable aleatòria f(X)). Aleshores, per tot nombre real a es té:

 

Una versió menys general d'aquesta desigualtat que trobem a diverses obres de referència és

 

on   indica la desviació típica de 'X'.

ReferènciesModifica

  1. Knuth, Donald. Addison–Wesley. The Art of Computer Programming: Fundamental Algorithms. 3a, 1997. ISBN 0-201-89683-4 [Consulta: 16 maig 2021]. 
A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Desigualtat de Txebixov