Distància d'un punt a una recta

En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui un punt, una recta i un punt d'aquesta recta:

Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a i .

Dues dimensionsModifica

Suposem que volem trobar la distància entre un punt   i una recta de la forma  . Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és:

 

DemostracióModifica

 
Esquema on es veu una recta  , un punt qualsevol de la recta  , el punt utilitzat   i la seva projecció   sobre la recta.

Per la demostració utilitzarem el punt   (pertany a  ) i el vector normal  .

Per la definició de producte escalar, tenim que:

 

I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació:[1]

 

Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector  , el vector normal és   i el mòdul del vector normal  . Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim:

 

Donat que el punt   pertany a la recta, tenim que:

 

I per tant:

 

ExempleModifica

Si tenim la recta   i volem saber a quina distància es troba el punt  , haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera:

 

Tres dimensionsModifica

 
Esquema on es veu una recta  , un punt qualsevol de la recta  , el punt utilitzat  , la seva projecció   sobre la recta, i l'angle   que formen el vector   i  .

Suposem que volem trobar la distància entre un punt   i una recta  . La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem   a aquest punt i   a aquest vector. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per:

 

DemostracióModifica

Si   és l'angle entre els vectors   i  , la distància entre el punt   i la recta és:

 

Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que:

 

Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

ExempleModifica

Suposem que tenim la recta  ; llavors el vector és   i el punt que hi pertany és  . Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt  , hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector   i  , i llavors el seu mòdul:

 

A més a més, el mòdul del vector director de la recta és  . En resum, la distància entre el punt i la recta és:

 

Notes al peuModifica

  1. La distància sempre és positiva, i per això afegim un valor absolut al producte escalar i al sinus de l'angle, ja que podrien ser tan positius com negatius.

ReferènciesModifica

  • Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques I, Modalitat de Ciències de la Naturalesa i de la Salut, i de Tecnologia, 2002. ISBN 84-236-6178-4. 
  • Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques II, Modalitat de Ciències i Tecnologia, 2009. ISBN 978-84-236-9508-9. 

Vegeu tambéModifica

Enllaços externsModifica