Distància d'un punt a una recta

En geometria euclidiana, la distància d'un punt a una recta és la menor distància entre aquest punt i un punt de la recta. Sigui $P\,$ un punt, $r\,$ una recta i $A\,$ un punt d'aquesta recta:

$d(P,r)=\min _{A\in r}\|P-A\|$

Cal distingir entre la distància entre un punt i una recta a $\mathbb {R} ^{2}$ i $\mathbb {R} ^{3}$.

Dues dimensions

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $P=(p_{1},p_{2})\,$ i una recta de la forma $r:\,Ax+By+C=0\,$. Llavors, la fórmula que permet obtenir-la és:

$d(P,r)={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

Demostració

Esquema on es veu una recta $\,r$, un punt qualsevol de la recta $\,Q$, el punt utilitzat $\,P$ i la seva projecció $\,P'$ sobre la recta.

Per la demostració utilitzarem el punt $\,Q=(q_{1},q_{2})\in r$ (pertany a $\,r$) i el vector normal ${\vec {n}}=(A,B)\perp r$.

Per la definició de producte escalar, tenim que:

${\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}=\|{\vec {n}}\|\cdot \|{\vec {PQ}}\|\cdot \cos \alpha$

I la distància compleix, com deduïm a partir de la figura, la següent relació:

$d(P,r)=\|{\vec {PQ}}\|\cdot |\cos \alpha |={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}|}{\parallel {\vec {n}}\parallel }}$

Aquesta expressió pot ser molt simplificada de la següent manera: el vector ${\vec {PQ}}=(q_{1}-p_{1},q_{2}-p_{2})$, el vector normal és ${\vec {n}}=(A,B)$ i el mòdul del vector normal $\parallel {\vec {n}}\parallel ={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}$. Si substituïm tot això a l'equació anterior obtenim:

$d(P,r)={\frac {|{\vec {n}}\cdot {\vec {PQ}}|}{\parallel {\vec {n}}\parallel }}={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}-(Aq_{1}+Bq_{2})|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

Donat que el punt $\,Q$ pertany a la recta, tenim que:

$\,Aq_{1}+Bq_{2}+C=0\rightarrow -(Aq_{1}+Bq_{2})=C$

I per tant:

$d(P,r)={\frac {|Ap_{1}+Bp_{2}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}$

Exemple

Si tenim la recta $\,r:x-2y-3=0$ i volem saber a quina distància es troba el punt $\,P=(2,3)$, haurem d'utilitzar la fórmula de la següent manera:

$d(P,r)={\frac {|2-6-3|}{\sqrt {1^{2}+2^{2}}}}={\frac {7{\sqrt {5}}}{5}}$

Tres dimensions

Esquema on es veu una recta $\,r$, un punt qualsevol de la recta $\,Q$, el punt utilitzat $\,P$, la seva projecció $\,P'$ sobre la recta, i l'angle $\alpha$ que formen el vector ${\vec {PQ}}$ i $\,r$.

Suposem que volem trobar la distància entre un punt $\,P$ i una recta $\,r$. La recta ve definida per un punt que està contingut i un vector que en marca la direcció. Anomenarem $\,Q$ a aquest punt i ${\vec {u}}$ a aquest vector. Llavors, la distància entre la recta i el punt ve donada per:

$d(P,r)={\frac {\|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|}{\|{\vec {u}}\|}}$

Demostració

Si $\,\alpha$ és l'angle entre els vectors ${\vec {PQ}}$ i ${\vec {u}}$, la distància entre el punt $\,P$ i la recta és:

$d(P,r)=\|{\vec {PQ}}\|\cdot \sin \alpha$

Per altra banda, per la interpretació geomètrica del producte vectorial, tenim que:

$\|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|=\|{\vec {u}}\|\cdot \|{\vec {PQ}}\|\cdot \sin \alpha =\|{\vec {u}}\|\cdot d(P,r)$

Així doncs, barrejant les dues equacions arribem a la fórmula inicial.

Exemple

Suposem que tenim la recta $r:{\frac {x-2}{1}}={\frac {y-3}{2}}={\frac {z+1}{1}}$; llavors el vector és ${\vec {u}}=(1,2,1)$ i el punt que hi pertany és $\,Q=(2,3,-1)$. Si volem trobar la distància d'aquesta recta al punt $\,P=(1,2,3)$, hem de seguir el següent procediment. Primer de tot, cal trobar el producte vectorial entre el vector ${\vec {PQ}}$ i ${\vec {u}}$, i llavors el seu mòdul:

${\vec {u}}\times {\vec {PQ}}=(1,2,1)\times (-1,-1,4)=(9,-5,1)\rightarrow \|{\vec {u}}\times {\vec {PQ}}\|={\sqrt {107}}$

A més a més, el mòdul del vector director de la recta és $\|{\vec {u}}\|={\sqrt {6}}$. En resum, la distància entre el punt i la recta és:

$d(P,r)={\sqrt {\frac {107}{6}}}$

Referències

• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques I, Modalitat de Ciències de la Naturalesa i de la Salut, i de Tecnologia, 2002. ISBN 84-236-6178-4. 
• Garrido González, Antoni. «6». A: Grup Edebé. Matemàtiques II, Modalitat de Ciències i Tecnologia, 2009. ISBN 978-84-236-9508-9. 

Vegeu també

• Distància euclidiana
• Distància d'un punt a un pla

Enllaços externs

• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance2-Dimensional.html
• http://mathworld.wolfram.com/Point-LineDistance3-Dimensional.html