Distribució discreta de Weibull

En la teoria de probabilitat i estadística, la distribució discreta de Weibull és la variant discreta de la distribució de Weibull. Va ser descrit per primera vegada per Nakagawa i Osaki el 1975.

Distribució discreta de Weibull

Paràmetres	$\alpha >0$ escala $\beta >0$ forma
Suport	$x\in \{0,1,2,\ldots \}$
fpm	$\exp \left[-\left({\frac {x}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]$
FD	$1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]$

Paràmetres alternatius

En el document original de Nakagawa i Osaki es va utilitzar la parametrització $q=e^{-\alpha ^{-\beta }}$ convertint el cmf $1-q^{(x+1)^{\beta }}$ en $q\in (0,1)$. Fent $\beta =1$ fa aparent la relació amb la distribució geomètrica.

Transformació localització-escala

La distribució contínua de Weibull té una estreta relació amb la distribució de Gumbel que és fàcil de veure quan es torna a convertir la variable. Es pot fer una transformació similar amb la distribució discreta de Weibull.

Definim $e^{Y}-1=X$ on (de forma no convencional) $Y=\log(X+1)\in \{\log(1),\log(2),\ldots \}$ i definim els paràmetres $\mu =\log(\alpha )$ i $\sigma ={\frac {1}{\beta }}$. Per substitució de $x$ al cmf:

$\Pr(X\leq x)=\Pr(X\leq e^{y}-1).$

Veiem que obtenim una parametrització d'escala local:

$=1-\exp \left[-\left({\frac {x+1}{\alpha }}\right)^{\beta }\right]=1-\exp \left[-\left({\frac {e^{y}}{e^{\mu }}}\right)^{\frac {1}{\sigma }}\right]=1-\exp \left[-\exp \left[{\frac {y-\mu }{\sigma }}\right]\right]$

que en la configuració d'estimacions té molt sentit. Això obre la possibilitat de regressió amb marcs desenvolupats per a la regressió de Weibull i la teoria de valor extrem.

Vegeu també

• Distribució de Weibull
• Distribució geomètrica
• Distribució q-Weibull