Distribució de Weibull

En teoria de la probabilitat i en estadística, la distribució de Weibull (batejada en honor de Waloddi Weibull) és una distribució de probabilitat contínua.

Distribució de Weibull

Funció de distribució de probabilitat
Tipus	exponentiated Weibull distribution (en) , Distribució generalitzada de valors extrems, regression model (en) , distribució univariant i distribució de probabilitat contínua
Epònim	Waloddi Weibull
Paràmetres	$\lambda \in (0,+\infty )\,$ escala $k\in (0,+\infty )\,$ forma
Suport	$x\in [0,+\infty )\,$
fdp	$f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
FD	${\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$
Esperança matemàtica	$\lambda \,\Gamma (1+1/k)\,$
Mediana	$\lambda (\ln 2)^{1/k}\,$
Moda	=${\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}$
Variància	$\lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,$
Coeficient de simetria	${\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$
Curtosi	(veure text)
Entropia	$\gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,$
FC	$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)$
Mathworld	WeibullDistribution

La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1. Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.

La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:

• Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix.

• Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps.

• Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.

Caracterització

Funció de probabilitat de densitat

La seva funció de densitat de probabilitat és

$f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,$

per a $x\geq 0$ i f(x; k, λ) = 0 per a x < 0, on $k>0$ és el paràmetre de forma i $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala.

Funció de distribució

La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència.

$F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}$

Funció de risc

$h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.$

Propietats

Mitjana: $\lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,$

Mediana: $\lambda \ln(2)^{1/k}\,$

Moda: $\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,$ if $k>1$

Variància: $\lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,$

Asimetria: ${\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}$

Moment d'ordre n: $m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,$, on $\Gamma$ és la funció Gamma.

Generalització

Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:

$f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,$

per a $x\geq \theta$ i f(x; k, λ, θ) = 0 per x < θ, on $k>0$ és el paràmetre de forma, $\lambda >0$ és el paràmetre d'escala i $\theta$ és el paràmetre de localització. Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.

La funció de distribució és

$F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}$

per a x ≥ θ, i F(x; k, λ, θ) = 0 per a x < θ.

Generació de valors aleatoris

Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores

$X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,$

segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ. Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.

Distribucions relacionades

• $X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )$ és una distribució exponencial si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})$.
• $X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )$ és una distribució de Rayleigh si $X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )$.
• $\lambda (-\ln(X))^{1/k}\,$ segueix una distribució de Weibull si $X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)$.
• Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat $f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}$
• Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem.

Referències

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Distribució de Weibull