En teoria de la probabilitat i en estadística , la distribució de Weibull [1] Waloddi Weibull ) és una distribució de probabilitat contínua.
Distribució de Weibull
Funció de distribució de probabilitat
Paràmetres
λ
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle \lambda \in (0,+\infty )\,}
escala
k
∈
(
0
,
+
∞
)
{\displaystyle k\in (0,+\infty )\,}
forma Suport
x
∈
[
0
,
+
∞
)
{\displaystyle x\in [0,+\infty )\,}
fdp
f
(
x
)
=
{
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
/
λ
)
k
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {k}{\lambda }}\left({\frac {x}{\lambda }}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
FD
{
1
−
e
−
(
x
/
λ
)
k
x
≥
0
0
x
<
0
{\displaystyle {\begin{cases}1-e^{-(x/\lambda )^{k}}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}}
Mitjana
λ
Γ
(
1
+
1
/
k
)
{\displaystyle \lambda \,\Gamma (1+1/k)\,}
Mediana
λ
(
ln
2
)
1
/
k
{\displaystyle \lambda (\ln 2)^{1/k}\,}
Moda =
{
λ
(
k
−
1
k
)
1
/
k
k
>
1
0
k
≤
1
{\displaystyle {\begin{cases}\lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{1/k}\,&k>1\\0&k\leq 1\end{cases}}}
Variància
λ
2
[
Γ
(
1
+
2
k
)
−
(
Γ
(
1
+
1
k
)
)
2
]
{\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}
Coeficient de simetria
Γ
(
1
+
3
/
k
)
λ
3
−
3
μ
σ
2
−
μ
3
σ
3
{\displaystyle {\frac {\Gamma (1+3/k)\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}
Curtosi (veure text) Entropia
γ
(
1
−
1
/
k
)
+
ln
(
λ
/
k
)
+
1
{\displaystyle \gamma (1-1/k)+\ln(\lambda /k)+1\,}
FGM
∑
n
=
0
∞
t
n
λ
n
n
!
Γ
(
1
+
n
/
k
)
,
k
≥
1
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k),\ k\geq 1}
FC
∑
n
=
0
∞
(
i
t
)
n
λ
n
n
!
Γ
(
1
+
n
/
k
)
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}\lambda ^{n}}{n!}}\Gamma (1+n/k)}
La distribució de Weibull s'utilitza habitualment per a l'anàlisi de dades de supervivència, degut a la seva flexibilitat i tractabilitat matemàtica. Pot imitar el comportament d'altres distribucions com la distribució normal quan k=3.4 i reproduir exactament la distribució exponencial quan k=1 .
Si la funció de risc decreix al llarg del temps, aleshores k < 1. Si és constant, k = 1. Si creix al llarg del temps, k > 1.
La funció de risc ajuda a comprendre què està causant les morts/fallides:
Un risc decreixent suggereix "mortalitat infantil". És a dir, els ítems defectuosos fallen al principi i per tant a mesura que avança el temps només queden els ítems no defectuosos, i el risc de fallida disminueix. Un risc constant suggereix que no hi ha ítems defectuosos, i que els ítems no es desgasten amb el temps. Un risc creixent indica que els ítems es desgasten, i per tant a mesura que avança el temps augmenta el risc d'una fallida.
Funció de probabilitat de densitat Modifica La seva funció de densitat de probabilitat és
f
(
x
;
k
,
λ
)
=
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
/
λ
)
k
{\displaystyle f(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda )^{k}}\,}
per a
x
≥
0
{\displaystyle x\geq 0}
f (x ; k , λ) = 0 per a x < 0, on
k
>
0
{\displaystyle k>0}
paràmetre de forma i
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
paràmetre d'escala .
Funció de distribució Modifica La funció de distribució pot calcular-se de forma explícita, fet que fa la distribució de Weibull atractiva per a modelar certs tipus de dades, com per exemple en l'anàlisi de la supervivència .
F
(
x
;
k
,
λ
)
=
1
−
e
−
(
x
/
λ
)
k
{\displaystyle F(x;k,\lambda )=1-e^{-(x/\lambda )^{k}}}
h
(
x
;
k
,
λ
)
=
k
λ
(
x
λ
)
k
−
1
.
{\displaystyle h(x;k,\lambda )={k \over \lambda }\left({x \over \lambda }\right)^{k-1}.}
Mitjana:
λ
Γ
(
1
+
1
k
)
{\displaystyle \lambda \Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\,}
Mediana:
λ
ln
(
2
)
1
/
k
{\displaystyle \lambda \ln(2)^{1/k}\,}
Moda:
λ
(
k
−
1
k
)
1
k
{\displaystyle \lambda \left({\frac {k-1}{k}}\right)^{\frac {1}{k}}\,}
k
>
1
{\displaystyle k>1}
Variància:
λ
2
Γ
(
1
+
2
k
)
−
μ
2
{\displaystyle \lambda ^{2}\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\mu ^{2}\,}
Asimetria:
Γ
(
1
+
3
k
)
λ
3
−
3
μ
σ
2
−
μ
3
σ
3
{\displaystyle {\frac {\Gamma (1+{\frac {3}{k}})\lambda ^{3}-3\mu \sigma ^{2}-\mu ^{3}}{\sigma ^{3}}}}
Moment d'ordre n:
m
n
=
λ
n
Γ
(
1
+
n
/
k
)
{\displaystyle m_{n}=\lambda ^{n}\Gamma (1+n/k)\,}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funció Gamma .
Existeix una genelització de la distribució de Weibull, que empra tres paràmetres. La funció de densitat de probabilitat és:
f
(
x
;
k
,
λ
,
θ
)
=
k
λ
(
x
−
θ
λ
)
k
−
1
e
−
(
x
−
θ
λ
)
k
{\displaystyle f(x;k,\lambda ,\theta )={k \over \lambda }\left({x-\theta \over \lambda }\right)^{k-1}e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}\,}
per a
x
≥
θ
{\displaystyle x\geq \theta }
f (x ; k , λ, θ) = 0 per x < θ, on
k
>
0
{\displaystyle k>0}
paràmetre de forma ,
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0}
paràmetre d'escala i
θ
{\displaystyle \theta }
paràmetre de localització . Quan θ=0, aquesta expressió es redueix a la distribució Gamma de dos paràmetres.
La funció de distribució és
F
(
x
;
k
,
λ
,
θ
)
=
1
−
e
−
(
x
−
θ
λ
)
k
{\displaystyle F(x;k,\lambda ,\theta )=1-e^{-({x-\theta \over \lambda })^{k}}}
per a x ≥ θ, i F (x ; k , λ, θ) = 0 per a x < θ.
Generació de valors aleatoris Modifica
Donada una observació aleatòria U obtinguda de la distribució uniforme en l'interval (0, 1), aleshores
X
=
λ
(
−
ln
(
U
)
)
1
/
k
{\displaystyle X=\lambda (-\ln(U))^{1/k}\,}
segueix una distribució de Weibull amb paràmetres k i λ.
Aquest resultat és una conseqüència immediata d'aplicar la transformació de distribució inversa.
Distribucions relacionades Modifica
X
∼
E
x
p
o
n
e
n
t
i
a
l
(
λ
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Exponential} (\lambda )}
distribució exponencial si
X
∼
W
e
i
b
u
l
l
(
γ
=
1
,
λ
−
1
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =1,\lambda ^{-1})}
X
∼
R
a
y
l
e
i
g
h
(
β
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Rayleigh} (\beta )}
distribució de Rayleigh si
X
∼
W
e
i
b
u
l
l
(
γ
=
2
,
2
β
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Weibull} (\gamma =2,{\sqrt {2}}\beta )}
λ
(
−
ln
(
X
)
)
1
/
k
{\displaystyle \lambda (-\ln(X))^{1/k}\,}
X
∼
U
n
i
f
o
r
m
(
0
,
1
)
{\displaystyle X\sim \mathrm {Uniform} (0,1)}
Si X segueix una distribució de Weibull, 1/X segueix una distribució de Weibull inversa amb funció de densitat de probabilitat
f
(
x
;
k
,
λ
)
=
(
k
/
λ
)
(
λ
/
x
)
(
k
+
1
)
e
−
(
λ
/
x
)
k
{\displaystyle f(x;k,\lambda )=(k/\lambda )(\lambda /x)^{(k+1)}e^{-(\lambda /x)^{k}}}
Vegeu també la distribució generalitzada del valor extrem .
↑ Weibull, W. (1951) "A statistical distribution function of wide applicability" J. Appl. Mech.-Trans. ASME 18(3), 293-297
![{\displaystyle \lambda ^{2}\left[\Gamma \left(1+{\frac {2}{k}}\right)-\left(\Gamma \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right)^{2}\right]\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fa6b5cdbe81bb9e6aa0452a2c619623cb23f14)
