Distribució normal-inversa-Wishart

En la teoria i l'estadística de la probabilitat, la distribució normal-inversa-Wishart (o distribució gaussiana-inversa-Wishart) és una família multivariada de quatre paràmetres de distribucions de probabilitat contínues. És l'a priori conjugat d'una distribució normal multivariant amb mitjana desconeguda i matriu de covariància (la inversa de la matriu de precisió).

Distribució normal-inversa-Wishart

Tipus	distribució de probabilitat

Definició

Suposant

${\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Sigma }}\sim {\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right)$

té una distribució normal multivariant amb mitjana ${\boldsymbol {\mu }}_{0}$ i matriu de covariància ${\tfrac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}$, on

${\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu \sim {\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$

té una distribució de Wishart inversa. Aleshores $({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})$ té una distribució normal-inversa-Wishart, denotada com

$({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }})\sim \mathrm {NIW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu ).$

Caracterització

Funció de densitat de probabilitat

$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Psi }},\nu )={\mathcal {N}}\left({\boldsymbol {\mu }}{\Big |}{\boldsymbol {\mu }}_{0},{\frac {1}{\lambda }}{\boldsymbol {\Sigma }}\right){\mathcal {W}}^{-1}({\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\Psi }},\nu )$

La versió completa del PDF és la següent:

$f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Sigma }}|{\boldsymbol {\delta }},\gamma ,{\boldsymbol {\Psi }},\alpha )={\frac {\gamma ^{D/2}|{\boldsymbol {\Psi }}|^{\alpha /2}|{\boldsymbol {\Sigma }}|^{-{\frac {\alpha +D+2}{2}}}}{(2\pi )^{D/2}2^{\frac {\alpha D}{2}}\Gamma _{D}({\frac {\alpha }{2}})}}{\text{exp}}\left\{-{\frac {1}{2}}Tr({\boldsymbol {\Psi \Sigma }}^{-1})-{\frac {\gamma }{2}}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\delta }})^{T}{\boldsymbol {\Sigma }}^{-1}({\boldsymbol {\mu }}-{\boldsymbol {\delta }})\right\}$

Aquí $\Gamma _{D}[\cdot ]$ és la funció gamma multivariant i $Tr({\boldsymbol {\Psi }})$ és la traça de la matriu donada.