Distribucions de Mittag-Leffler

Les distribucions de Mittag-Leffler són dues famílies de distribucions de probabilitat a la mitja línia $[0,\infty )$. Estan parametritzats per un real $\alpha \in (0,1]$ o $\alpha \in [0,1]$ . Tots dos es defineixen amb la funció Mittag-Leffler, que porta el nom de Gösta Mittag-Leffler.

Distribucions de Mittag-Leffler

Tipus	distribució univariant
Epònim	Gösta Mittag-Leffler

La funció Mittag-Leffler

Per a qualsevol complex $\alpha$ la part real del qual és positiva, la sèrie

$E_{\alpha }(z):=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{\Gamma (1+\alpha n)}}$

defineix una funció sencera. Per $\alpha =0$, la sèrie convergeix només en un disc de radi 1, però analíticament es pot estendre a $\mathbb {C} \setminus \{1\}$.

Primera família de distribucions Mittag-Leffler

La primera família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions de distribució acumulada.

Per a tot $\alpha \in (0,1]$, la funció $E_{\alpha }$ està augmentant en la línia real, convergeix a $0$ en $-\infty$, i $E_{\alpha }(0)=1$. Per tant, la funció $x\mapsto 1-E_{\alpha }(-x^{\alpha })$ és la funció de distribució acumulada d'una mesura de probabilitat sobre els nombres reals no negatius. La distribució així definida, i qualsevol dels seus múltiples, s'anomena distribució d'ordre de Mittag-Leffler $\alpha$.

Totes aquestes distribucions de probabilitat són absolutament contínues. Des que $E_{1}$ és la funció exponencial, la distribució de l'ordre de Mittag-Leffler $1$ és una distribució exponencial. Tanmateix, per $\alpha \in (0,1)$, les distribucions de Mittag-Leffler són de cua pesada. La seva transformada de Laplace ve donada per:

$\mathbb {E} (e^{-\lambda X_{\alpha }})={\frac {1}{1+\lambda ^{\alpha }}},$

que implica que, per $\alpha \in (0,1)$, l'expectativa és infinita. A més, aquestes distribucions són distribucions geomètriques estables. Els procediments d'estimació de paràmetres es poden trobar aquí.

Segona família de distribucions de Mittag-Leffler

La segona família de distribucions de Mittag-Leffler es defineix per una relació entre la funció de Mittag-Leffler i les seves funcions generadores de moments.

Per a tot $\alpha \in [0,1]$, una variable aleatòria $X_{\alpha }$ es diu que segueix una distribució d'ordre de Mittag-Leffler $\alpha$ si, per alguna constant $C>0$,

$\mathbb {E} (e^{zX_{\alpha }})=E_{\alpha }(Cz),$

on la convergència és per a tots $z$ en el pla complex si $\alpha \in (0,1]$, i tot $z$ en un disc de radi $1/C$ si $\alpha =0$.