En matemàtiques, un divisor de zero és un element d'un anell que, tot i ser diferent de zero, en multiplicar-lo per un altre element també diferent de zero pot donar zero (depenent de quin sigui aquest altre element).

No tots els anells tenen divisors de zero, per exemple l'anell dels nombres enters no té divisors de zero (no hi ha cap nombre enter diferent de zero que multiplicat per un altre nombre enter diferent de zero pugui donar zero). Els anells que no tenen divisors de zero es diuen íntegres.

Definició formal

modifica

Sia (A, +, ⋅) un anell i a un element de l'anell tal que  , on 0A és l'element neutre de la suma (+).

Es diu que a és un divisor de zero per l'esquerra en A si i només si

 

Es diu que a és un divisor de zero per la dreta en A si i només si

 

Es diu que a és un divisor de zero en A si i només si a és un divisor de zero per la dreta i per l'esquerra en A. Fixeu-vos que l'anell pot no ser commutatiu i pot ser que no tots els divisors de zero per un costat ho siguin també per l'altre.

Un element de A que no és pas divisor de zero s'anomena regular.

Un divisor de zero no pot ser invertible, en particular, cap anell que admeti algun divisor de zero no pot ser un cos. En efecte, sia a un element d'un anell (A, +, ⋅) que és divisor de zero. Se suposa que a és invertible. Llavors, per definició de divisor de zero, existeix un element b no nul de A tal que ab = 0A, i multiplicant-lo per a−1 per l'esquerra esdevé b = 0A, el que és una contradicció.

Anell íntegre

modifica

Sia (A, +, ⋅) un anell. S'anomena anell íntegre si i només si conté més elements a banda de l'element neutre i no admet cap divisor de zero.

Exemples

modifica

L'anell   dels enters no conté cap divisor de zero, així com el cos dels nombres racionals, o reals, o complexos (en general qualsevol cos).

A l'anell  , la classe de 4 és un divisor de zero, ja que 4⋅3 és congruent amb 0 mòdul 6, mentre que ni 3 ni 4 no són congruents amb 0 mòdul 6. Més en general, a l'anell  , els divisors de zero són exactament les classes mòdul n dels enters que no són coprimers amb n. Aquesta afirmació és una simple reformulació de la identitat de Bézout.

Matrius

modifica

L'anell   de les matrius quadrades sobre el cos dels reals amb de dues files i dues columnes té divisors de zero. Per exemple, la matriu

 

és un divisor de zero. En efecte, és no nul·la i es té

 

Més en general, els divisors de zero per la dreta a   són les matrius de les aplicacions no exhaustives i els divisors de zero per l'esquerra les matrius de les aplicacions no injectives.

El conjunt de les funcions de   en si mateix és un anell que admet divisors de zero. En efecte es pren la funció característica dels racionals així com la funció característica dels irracionals, és clar que aquestes dues funcions són diferents de la funció nul·la, tanmateix el seu producte dona la funció nul·la, ja que tot nombre real és o bé racional o bé irracional, però no les dues coses alhora. Més en general, si A és una àlgebra, es designa per AX l'àlgebra de les funcions   on X és un conjunt no buit qualsevol. Els divisors de zero de AX són exactament les funcions no nul·les que admeten zero o un divisor de zero en la seva imatge.