Espai de mesura

Un espai de mesura és un conjunt per al qual s'ha definit una σ-àlgebra de conjunts mesurables i una funció mesura concreta que assigna un valor real o mesura a cada element de la σ-àlgebra.^[1] Un exemple important d'espai de mesura és l'espai de probabilitat.

Un espai mesurable consisteix en els dos primers components sense una mesura específica.

Definició

Un espai de mesura és un triplet $(X,{\mathcal {A}},\mu ),$ on^[2]^[3]

$X$ és un conjunt
${\mathcal {A}}$ és una $σ$ -algebra en el conjunt $X$
$\mu$ és una mesura en $(X,{\mathcal {A}})$

En altres paraules, un espai de mesura consisteix en un espai mesurable $(X,{\mathcal {A}})$ juntament amb una mesura definit en aquest espai.

Exemples

La tripleta $\scriptstyle (\mathbb {R} ,{\mathcal {B}},\lambda )$ on $\scriptstyle \mathbb {R}$ és el conjunt dels nombres reals, $\scriptstyle {\mathcal {B}}$ la σ-àlgebra boreliana i $\lambda$ la mesura de Lebesgue basada en la longitud dels intervals, constitueixen un espai de mesura.
Un espai probabilístic és un cas particular d'espai de mesura, on el conjunt de referència té mesura 1, i els conjunts mesurables, anomenats esdeveniments, tenen una mesura o "mida" finita, donada per la seva probabilitat.

Classes importants d'espais de mesura

Les classes més importants d'espais de mesura són definides per les propietats de les seves mesures associades. Això inclou

Els espais de probabilitat, espais de mesura on la mesura és una mesura de probabilitat^[2]
Espais de mesura finita, on la mesura és una mesura finita^[4]
Espais de mesura $\sigma$ -finita, on la mesura és una mesura $\sigma$ -finita^[4]

Una altra classe d'espais de mesura són els espais de mesura completa.^[5]

Referències

↑ «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
↑ ^2,0 ^2,1 Kosorok, Michael R.. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. Nova York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.
↑ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.
↑ ^4,0 ^4,1 Plantilla:SpringerEOM
↑ Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 33. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1] «Espai de mesura». Gran Enciclopèdia Catalana. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.

[Kosorok83-2] 2,0 ^2,1 Kosorok, Michael R.. Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. Nova York: Springer, 2008, p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8.

[Klenke18-3] Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 18. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[eommeasurespace-4] 4,0 ^4,1 Plantilla:SpringerEOM

[Klenke33-5] Klenke, Achim. Probability Theory. Berlín: Springer, 2008, p. 33. DOI 10.1007/978-1-84800-048-3. ISBN 978-1-84800-047-6.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]