Tautologia (lògica): diferència entre les revisions

En un sistema de [[lògica proposicional]], una interpretació no és més que una funció que assigna un únic [[valor de veritat]] a totes les fórmules atòmiques sota consideració. Diferents interpretacions, per tant, difereixen només en les assignacions de valors de veritat que fan. Una tautologia és una [[fórmula ben formada]] que sota qualsevol interpretació dels seus components atòmics, té valor de veritat 1 (veritable). Per tant, per determinar si una fórmula qualsevol és una tautologia, només cal considerar totes les possibles interpretacions de les fórmules atòmiques, i calcular el valor de veritat del tot. Això s'aconsegueix mitjançant una [[taula de veritat]]. Per exemple, consideri la fórmula p ∧ q . Com a cada fórmula atòmica pot assignar un de dos possibles valors de veritat, hi ha en total 2 ² = 4 possibles combinacions de valors de veritat. És a dir, quatre interpretacions possibles: o ambdues són veritables, o p és veritable i q falsa, o p és falsa i q veritable, o ambdues són falses. Això pot presentar mitjançant una simple taula:

Per a cadascuna d'aquestes interpretacions, es pot calcular el valor de veritat de la fórmula p ∧ q . Els resultats poden presentar-se novament mitjançant una taula:

Aquesta és la [[taula de veritat]] de la fórmula p ∧ q . Com es veu, aquesta fórmula només és veritable sota una interpretació: aquella en què les dues fórmules atòmiques són veritables. Una tautologia és una fórmula el valor de veritat és 1 per totes les interpretacions possibles de les fórmules atòmiques. Per tant, p ∧ q no és una tautologia. En canvi, la següent [[taula de veritat]] mostra una fórmula que sí que ho és: