Teorema de Bolzano-Weierstrass: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Corregit: - Cauchy]] ja + Cauchy]], ja |
Canvis menors, neteja AWB |
||
Línia 1:
{{millorar text|data=abril de 2013|l'article dedica més temps a definir termes pels quals s'hauria de redireccionar a una altra pàgina (successió fitada, subsuccessió...), que no pas a parlar del propi teorema}}
El '''teorema de Bolzano-Weierstrass''', que deu el seu nom als matemàtics [[Bernard Bolzano]] i [[Karl Weierstrass]], afirma que
{{teorema| 1 = Tota [[Successió (matemàtiques)|successió]] fitada de [[nombre real|nombres reals]] conté alguna successió parcial [[límit|convergent]].}}
Una [[Successió (matemàtiques)|successió]] ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>3</sub>, ... és successió fitada si existeix un nombre real ''L'' tal que el [[valor absolut]] |''a''<sub>''n''</sub>| és inferior a ''L'' per a tot índex ''n''. Gràficament es pot imaginar com punts ''a''<sub>''i''</sub> representats en una gràfica bidimensional, amb ''i'' sobre l'eix horitzontal i el valor sobre el vertical. D'aquesta manera la successió avança cap a la dreta a mesura que creix ''i'', i està fitada si podem dibuixar una banda horitzontal que engloba tots els punts.
Una successió parcial de {''a''<sub>''n''</sub>} és una successió formada per alguns termes d'aquesta, sense variar l'ordre. Per exemple, ''a''<sub>2</sub>, ''a''<sub>5</sub>, ''a''<sub>13</sub>, etc.
Línia 11:
==Demostració==
En efecte, si per a tot ''n'', ''a'' ≤ ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b'' (perquè la successió ''a''<sub>''n''</sub> és fitada) denotem per ''I''<sub>0</sub> el conjunt dels nombres reals ''x'' que compleixen ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b''. Llavors dividim ''I''<sub>0</sub> en dues meitats i escollim la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió ''a''<sub>''n''</sub>, en cas contrari, escollim la meitat esquerra. Denotem per ''I''<sub>1</sub> la meitat escollida. Aleshores tornem a dividir ''I''<sub>1</sub> en dues meitats i n'escollim una aplicant el criteri anterior. Denotem per ''I''<sub>2</sub> la meitat escollida. Repetim el procés indefinidament.
D'aquesta manera tenim que tots els conjunts escollits ''I''<sub>0</sub>, ''I''<sub>1</sub>, ''I''<sub>2</sub>, ... contenen infinits termes i a més a més, cadascun d'ells és subconjunt de l'anterior, ja que conté la meitat de termes que l'anterior. És a dir, cada subconjunt ''I''<sub>''k''</sub> té la meitat de llargada que el seu anterior, i per tant, el conjunt ''I''<sub>''s''</sub> tindrà una llargada ''L''<sub>''s''</sub> = (''b'' − ''a'')/2<sup>''s''</sup>. Llavors podem construir una successió {''a''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub>} d'elements de ''I''<sub>''k''</sub> amb ''n''<sub>''k''</sub> < ''n''<sub>''k''+1</sub> (que vol dir que la successió no s'acaba, ja que a cada ''I''<sub>''k''</sub> sempre hi ha infinits termes de la successió ''a''<sub>''n''</sub>). A més a més, {''a''<sub>''n''<sub>''k''</sub></sub>} és una successió parcial de ''a''<sub>''n''</sub>. Aquesta successió parcial és una [[successió de Cauchy]], ja que, per construcció, si ''n''<sub>''k''</sub> < ''n''<sub>l</sub> aleshores <math>\left|a_{n_k} - a_{n_l}\right| < L_k = (b-a)/2^k</math>. Com que la successió és de Cauchy també és convergent (ja que estem treballant a ℝ que és [[completesa|complet]]).
== Vegeu també ==
* [[Teorema de Weierstrass]]
{{Autoritat}}
| |||