Acceleració: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
- navegació |
m bot: -s +gravacions |
||
Línia 1:
{{Infotaula de magnitud física
|nom= Acceleració
|unitat = [[metre per segon al quadrat|m /
|símbols = ''a''
|imatge = [[Fitxer:Velocity vs time graph.svg|250px|Variació de la velocitat v al llarg del temps t d'un mòbil que no canvia de direcció]]
Línia 8:
En [[física]], l''''acceleració''' és una [[magnitud física]] que indica com canvia la [[velocitat]] d'un cos en relació amb el [[temps]]. És a dir, indica la rapidesa de l'augment o la disminució de la velocitat del moviment.
En [[cinemàtica]] l'acceleració instantània es defineix com la primera [[derivada]] de la velocitat respecte del temps (la raó del canvi de velocitat) o de manera equivalent com la [[segona derivada]] de la [[posició]]. Es tracta d'una magnitud [[Vector (física)|vectorial]] i es mesura en unitats de ''[[longitud]] · temps<sup>-2</sup>'' (L·T<sup>-2</sup> o L/T<sup>2</sup>). En unitats del [[Sistema Internacional d'Unitats|SI]],
En llenguatge comú es parla d{{'}}''acceleració'' per referir-se a un increment de la velocitat i de ''desacceleració'' per indicar-ne un decrement. Però en física qualsevol increment o decrement de la velocitat és anomenat acceleració; i també rep el nom d'acceleració el canvi en la direcció de la velocitat (''acceleració centrípeta'').
Línia 21:
== Acceleració mitjana i acceleració instantània ==
[[Fitxer:Acceleration as derivative of velocity along trajectory.svg||250px|thumb|L'acceleració mitjana, es calcula fent la resta vectorial de les velocitats en dos punts diferents de la trajectòria i dividint el vector resultat entre el temps transcorregut. L'acceleració instantània és el límit del vector que en resulta quan el temps transcorregut tendeix a zero ''Δt'' → 0.]]
L''''acceleració mitjana''' es defineix com el quocient entre la diferència del [[vector (física)|vector]] velocitat i el període transcorregut. Per a calcular l'acceleració mitjana d'un cos
:<math>\vec a=\frac{\vec v_f-\vec v_o}{t_f-t_o}=\frac{\Delta \vec v}{\Delta t}</math>
Línia 37:
En els moviments no rectilinis l'acceleració es pot descompondre en dues components perpendiculars: una de perpendicular a la direcció del moviment, l''''acceleració normal''', i l'altra tangent al moviment, l''''acceleració tangencial'''.
L''''acceleració tangencial''' (<math>\vec a_t</math>) mesura el canvi del mòdul de la velocitat del mòbil en el temps. La seva direcció és tangencial a la trajectoria i, per tant, paral·lela a la velocitat. El seu valor pot ser zero, cas en què el mòdul de la velocitat es mantingui constant. Matemàticament
<math>\vec{a}_{t}=\frac{d\left| {\vec{v}} \right|}{dt}\cdot\vec{u}_{t}</math>
L''''acceleració normal''' (<math>\vec a_n</math>) és present en qualsevol moviment no rectilini. És la que mesura la variació de la direcció del vector velocitat, és a dir, la magnitud en què
:<math>\vec a_n=\frac {{v}^2}{r}\cdot\vec{u}_{n}</math>
Línia 59:
S'escriu la velocitat com el producte del seu mòdul ''v'' (o celeritat o rapidesa) pel vector unitari tangent a la trajectòria:
:<math>\overset{\to }{\mathop{v}}\,=v\cdot \overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,</math>
Derivant
:<math>\begin{align}
\frac{d\overset{\to }{\mathop{v}}\,}{dt}&=\frac{dv}{dt}\cdot \overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,+v\cdot \frac{d\overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{dt} \\
& =\overset{\to }{\mathop{a}}\,_{t}+v\cdot \frac{d\overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{dt} \\
\end{align}</math>
Anomenant ''
:<math>\frac{d\overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{dt}=\frac{d\overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{ds}\cdot \frac{ds}{dt}=\frac{d\overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{ds}\cdot v</math>
Línia 76:
Fixeu-vos en la figura de la dreta. A partir d'un punt de la trajectòria ''P''<sub>0</sub> i dos punts molt propers ''P''<sub>-1</sub> i ''P''<sub>1</sub> es pot traçar una [[circumferència]] (tres punts sempre defineixen una circumferència. La variació mitjana del vector tangent entre els punts ''P''<sub>-1</sub> i ''P''<sub>1</sub> és:
:<math>\frac{\Delta \overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{\Delta
Observant el diagrama vectorial de resta dels vectors tangents es veu que això es pot expressar com:
Línia 84:
On <math>\overset{\to }{\mathop{u_{n'}}}\,</math> és el vector unitari en la direcció de la diferència, per tant es té:
:<math>\frac{\Delta \overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{\Delta
Però fixeu-vos que quan els punts ''P''<sub>-1</sub> i ''P''<sub>1</sub> tendeixen a ''P''<sub>0</sub> [[Llista d'identitats trigonomètriques#Càlcul infinitessimal|el sinus tendeix a ser igual a l'arc]] (vegeu també [[Demostració de les identitats trigonomètriques#Identitat del quocient entre el sinus i l'angle|''demostració de la identitat del quocient entre el sinus i l'angle'']]) i els vectors tangents a la trajectòria tendeixen a ser els vectors tangents a la circumferència per tant es té:
:<math>\underset{\alpha \to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\Delta \overset{\to }{\mathop{u_{t}}}\,}{\Delta
Fixeu-vos que la fórmula es pot interpretar com la definició de ''r''. El radi de curvatura d'una trajectòria en un punt és el radi de la circumferència traçada passant per tres punts molt propers quant aquest tres punts tendeixen a trobar-se. Aquesta circumferència
Fixeu-vos també que el vector normal a la trajectòria necessita aquesta circumferència per quedar completament definit, a més de ser normal al vector tangent ha de pertànyer al pla d'aquesta circumferència.
Línia 103:
:<math>\overset{\to }{\mathop{a_{abs}}}\,=\overset{\to }{\mathop{a_{rel}}}\,+\overset{\to }{\mathop{a_{arr}}}\,+\overset{\to }{\mathop{a_{cor}}}\,</math>
on ''a''<sub>arr</sub> és el que
L'acceleració d'arrossegament és l'acceleració que tindria el punt respecte de la referència absoluta si estigués fix respecte de la referència relativa. Es pot calcular amb la fórmula:
Línia 126:
On <math>\overset{\to }{\mathop{v_{abs}}}\,</math> és la velocitat del punt en la referència absoluta, <math>\overset{\to }{\mathop{v_{rel}}}\,</math> la velocitat del punt en la referència relativa, <math>\overset{\to }{\mathop{v_{abs}}}\,\left( O \right)</math> és la velocitat absoluta de l'origen de coordenades de la referència relativa, <math>\overset{\to }{\mathop{\omega _{arr}}}\,</math> és la velocitat angular de la referència relativa respecte de la referència absoluta (velocitat angular d'arrossegament) i <math>\overset{\to }{\mathop{P_{rel}}}\,</math> és el vector de posició del punt en la referència relativa.
Derivant respecte del temps per trobar l'acceleració
:<math>\begin{align}
Línia 149:
:<math>\frac{d}{dt}\overset{\to }{\mathop{v_{rel}}}\,=\overset{\to }{\mathop{a_{rel}}}\,+\left( v_{x}\frac{d}{dt}\overset{\to }{\mathop{e_{x}}}\, \right)+\left( v_{y}\frac{d}{dt}\overset{\to }{\mathop{e_{y}}}\, \right)+\left( v_{z}\frac{d}{dt}\overset{\to }{\mathop{e_{z}}}\, \right)</math> (2)
En derivar cada un dels vectors directors de la referència relativa respecte del temps en general
:<math>\begin{align}
Línia 224:
On <math>\overset{\to }{\mathop{\omega _{arr}}}\,=\omega _{yz}\overset{\to }{\mathop{e_{x}}}\,-\omega _{xz}\overset{\to }{\mathop{e_{y}}}\,+\omega _{xy}\overset{\to }{\mathop{e_{z}}}\,</math> tenint en compte que ω<sub>ij</sub> vol dir: el component en la direcció ''j'' de la [[derivada respecte del temps|derivada temporal]] del vector director ''i''.
En l'últim terme de l'equació (1) cal calcular la derivada temporal del vector posició respecte de la referència relativa, com que aquest vector es pot expressar com el producte de les seves components pels vectors directors de la referència relativa, seguin el mateix raonament
:<math>\frac{d}{dt}\overset{\to }{\mathop{P_{rel}}}\,=\overset{\to }{\mathop{v_{rel}}}\,+\overset{\to }{\mathop{\omega _{arr}}}\,\wedge \overset{\to }{\mathop{P_{rel}}}\,</math> (4)
Substituint (3) i (4) en (1), operant i reordenant termes
:<math>\begin{align}
Línia 258:
== Transformació d'una acceleració en teoria de la relativitat ==
Tot el que
:<math>\begin{align}
| |||