Transformada ràpida de Fourier: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m |vinheta -> |miniatura |
Canvis menors, neteja, replaced: <references /> → {{referències}}, inclús → fins i tot, de O → d'O (2), freqüentment → sovint AWB |
||
Línia 1:
[[Fitxer:FFT Example.jpg|miniatura|Fig.1 FFT de la suma de 2 senyal sinusoidals de 300 i 600 Hz (imatge superior) Resultat de la FFT (imatge inferior)]]
La '''transformada ràpida de Fourier''' (o '''FFT''', de l'[[anglès]] '''Fast Fourier transform'''), no és més que una forma molt ràpida i eficient de calcular la [[transformada discreta de Fourier]] (DFT) d'un [[senyal discret]] i la seva inversa, la [[IDFT|transformada inversa discreta de Fourier]] (IDFT).
Es calcula de forma computacional a través d'un determinat [[algorisme]]. En termes d'eficiència, la DFT té un cost temporal
Per poder aplicar la transformada ràpida de Fourier, es necessiten dues condicions indispensables: que el senyal discret a transformar sigui periòdic i que el nombre de mostres sigui de l'ordre de <math>2^n</math>, amb n essent un nombre enter positiu. Com més gran sigui n, millor serà la transformada. Generalment, n sol ser igual a 10.
D'aquí ve la seva importància pel desenvolupament de les [[telecomunicacions]]. Operacions que abans de la FFT podien desestimar-se per la seva complexitat, van començar-se a fer utilitzant aquesta nova transformada ràpida de Fourier.<ref>{{Ref-web|url= http://www.earlevel.com/main/2002/08/31/a-gentle-introduction-to-the-fft/|títol=A gentle introduction to the FFT {{!}} EarLevel Engineering| consulta=2017-03-01|llengua=Anglès| editor=www.earlevel.com|data=}}</ref>
La transformada ràpida de Fourier és d'importància fonamental en l'anàlisi matemàtica i ha estat objecte de nombrosos estudis. L'aparició d'un algorisme eficaç per a aquesta operació va ser una pedra angular en la història de la informàtica.<ref>{{Ref-publicació|cognom=|nom=www.askamathematician.com|article=Q: What is a Fourier transform? What is it used for?|publicació=Ask a Mathematician / Ask a Physicist|llengua=Anglès|url= http://www.askamathematician.com/2012/09/q-what-is-a-fourier-transform-what-is-it-used-for/|data=2012-09-25|pàgines=}}</ref>
Les principals aplicacions de la transformada ràpida de Fourier són múltiples. És la base de moltes operacions fonamentals que es troben en el [[tractament digital del senyal]], on té una àmplia utilització. També és important en el [[filtratge digital]] i la resolució d'[[equacions diferencials]], entre d'altres aplicacions. A més, proporciona un mitjà convenient per millorar el rendiment dels algorismes per a un conjunt de problemes aritmètics comuns.
== Definició ==
Siguin ''x''<sub>0</sub>, ...., ''x''<sub>''n''-1</sub> [[nombre complex|nombres complexos]]. La transformada discreta de Fourier (DFT) es defineix com <ref>{{Ref-web|url= http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/Math/fft.html|títol=Fast Fourier Transforms| consulta=2017-03-01|llengua=Anglès| editor=hyperphysics.phy-astr.gsu.edu|data=}}</ref>
:[[Fitxer:DIT-FFT-butterfly.png|miniatura|Fig.2 Càlcul gràfic]]<math> f_j = \sum_{k=0}^{n-1} x_k e^{-{2\pi i \over n} jk }
Línia 18:
j = 0,\dots,n-1. </math>
L'avaluació directa d'aquesta fórmula requereix O(''n''²) operacions aritmètiques. Mitjançant un algorisme FFT es pot obtenir el mateix resultat amb tan sols O(''n'' log ''n'') operacions. En general, aquests algorismes depenen de la factorització de ''n'' però, al contrari del que
La idea que permet aquesta optimització és la descomposició de la transformada en altres de més simples que es tornen a descompondre, i així fins a arribar a transformades de 2 elements on ''k'' pot prendre valors 0 i 1. Un cop resoltes les transformades més simples, s'han d'agrupar en altres de nivell superior que s'han de resoldre de nou i així successivament fins a arribar al nivell més alt. Al final d'aquest procés, els resultats obtinguts han de reordenar-se.
Línia 24:
Ja que la transformada discreta de Fourier inversa és anàloga a la transformada discreta de Fourier, amb diferent signe a l'exponent i un factor 1/''n'', qualsevol algorisme FFT pot ser fàcilment adaptat per al càlcul de la transformada inversa.
En general, tenim que:
:<math>x[n] = IDFT\{X[k]\}=\frac{1}{N}\left(DFT\left\{X^* [k]\right\}\right)^*</math>
== Algorismes de càlcul de FFT ==
Línia 30:
=== Algorisme de Cooley-Tukey ===
[[Fitxer:Cooley-tukey-general.png|miniatura|Fig.2 Algorisme Cooley–Tukey]]
Existeixen diferents algorismes per calcular la FFT, però el més conegut i utilitzat és el de [[Cooley-Tukey]]. Aquest va ser popularitzat l'any 1965 gràcies a una publicació de J. W. Cooley i J. W. Tukey. Aquest algorisme té diferents formes. A continuació s'explica, breument, la més senzilla d'elles: la [[DIT]] (Decimation-in-time). És també la més explicada als llibres de text, però, paradoxalment, la menys usada en grans aplicacions.
La base d'aquest algorisme és fer subdivisions de la DFT. Es treballa en diferents etapes i a cada etapa es va dividint en grups de 2. Es poden fer un nombre màxim de N\2-1 etapes(per un costat els coeficients parells i per l'altre els imparells). Cada un dels coeficients de sortida de la FFT,de les mostres imparelles es multipliquen per <math>W_N^K=e^{-i\frac{2\pi }{N}k}</math>, on ''k'' és la posició del vector de sortida, i se sumen a les mostres parelles. Les FFT de N/2 es pot resoldre també de la següent manera: realitzant aquesta operació de manera recursiva fins a obtenir una FFT de grandària 2. El resultat és:
Línia 38:
Per exemple, es disposa d'un senyal de N=8 mostres. Es poden fer fins a 3 etapes. A la primera etapa es té una DFT de N mostres. A la següent etapa 2 DFTs de N/2 mostres cada una. I l'última etapa tindrà 4 DFTs de N/4 mostres cada una. Finalment s'han de combinar totes les etapes. Es fa a través d'una operació anomenada "[[butterfly]]", o ''papallona'' del català. Utilitzant aquest algorisme, també anomenat [[radix-2]] s'observa que el nombre de mostres (N) que es pot agafar ha de ser potència de 2.
=== Altres algorismes <ref>{{Ref-web|url= http://www.dspguide.com/ch12/2.htm|títol=How the FFT works| consulta=2017-03-01|llengua=Anglès| editor=www.dspguide.com|data=}}</ref> ===
* '''[[FFT del factor primer]]'''''(també anomenat algorisme de Good-Thomas).''
Línia 51:
== FFT amb Matlab ==
* >> X = fft(x) <ref>{{Ref-web|url= https://es.mathworks.com/help/matlab/ref/fft.html|títol=Fast Fourier transform - MATLAB fft| consulta=2017-03-01|llengua=Anglès| editor=es.mathworks.com|data=}}</ref>
Fa la FFT del vector x. 'X' és un vector de nombres complexos ordenats des de k=0...N-1. Es recomana que la longitud del vector 'x' sigui una potència de 2. El que no es recomana és que la longitud 'x' sigui un nombre primer. Una altra opció de la FFT és especificar el nombre de punts amb el qual es vol fer la FFT.
Línia 83:
== Referències ==
{{referències}}
{{Autoritat}}
| |||