Nucli (matemàtiques): diferència entre les revisions

Com que un homomorfisme de grups conserva els elements identitat, l'element identitat ''e_G'' de ''G'' ha de pertànyer al nucli de ''f''. L'homomorfisme ''f'' és injectiu si i només si el seu nucli es composacompon exclusivament del conjunt singletó {''e_G''}. Això és cert perquè, si l'homomorfisme ''f'' no és injectiu, llavors existeixen <math>a, b \in G</math> amb <math>a \neq b</math> tals que <math>f(a)=f(b)</math>. Això significa que <math>f(a)f(b)^{-1} = e_{H}</math>, la qual cosa és equivalent a afirmar que <math>f(ab^{-1}) = e_{H}</math>, ja que els homomorfismes de grup porten inversos a inversos i per tant <math>f(a)f(b^{-1})=f(ab^{-1})</math>. En altres paraules, <math>ab^{-1} \in \operatorname{ker} f</math>. Recíprocament, si existeix un element <math>g \neq e_G \in \operatorname{ker} f</math>, llavors <math>f(g)=f(e_G)=e_H</math>, i per tant ''f'' no és injectiu.