Fórmula d'Euler: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 6:
[[Fitxer:Euler's formula.svg|miniatura|La fórmula d'Euler il·lustrada en el pla complex]]
La fórmula pot interpretar-se geomètricament com una [[circumferència]] de radi unitari en el [[nombre complex|pla complex]], dibuixada per la funció ''e''<sup>''ix''</sup> al variar <math>x</math> sobre els nombres reals. Així, <math>x</math> és l'[[angle]] d'una recta que connecta l'origen del pla i un punt sobre la circumferència unitària, amb l'eix positiu real, mesurat en sentit contrari a les agulles del rellotge i en [[radiant (angle)|radiants]]. La fórmula només és vàlida si també el sinus i el cosinus tenen el seu argument en [[radiant (angle)|radiants]].
La demostració està basada en l'expansió en [[sèrie de Taylor]] de la [[funció exponencial]] ''e''<sup>''z''</sup> (on ''z'' és un nombre complex), i l'expansió de sin ''x'' i cos ''x''.
Línia 16:
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que és l'única funció matemàtica que roman amb la mateixa forma -excepte per la unitat imaginària- amb les operacions d'integració i derivació del [[càlcul integral]], el que permet que, en enginyeria elèctrica, s'utilitzi per a convertir equacions diferencials en equacions amb forma algebraica (per exemple en la resolució de circuits amb condensador i bobines), simplificant enormement aquestes operacions.
A partir de la fórmula d'Euler i les operacions amb [[funció exponencial|funcions exponencials]], es poden derivar diverses [[identitats trigonomètriques]], així com la [[fórmula de De Moivre]].
Una propietat important de la fórmula d'Euler és que conté dos tipus de simetries: la [[funció parella|parella]] i la [[funció imparella|imparella]].
La fórmula d'Euler també permet interpretar les funcions sinus i cosinus com simples variacions de la funció exponencial:
| |||