Mètode del descens infinit: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants |
m neteja i estandardització de codi |
||
Línia 3:
== Principi ==
Sigui P(n) una propietat que fa intervenir un enter n. S'intenta demostrar que P(n) és falsa per a tot n. Per això es procedeix com segueix:
*Se suposa que per a un natural a qualsevol, P(a) és verdadera.
*Per un argument matemàtic a precisar en cada cas, es demostra que si P(n) és verdadera, llavors P(m) és també verdadera per a un natural m estrictament inferior a n.
*Llavors es pot concloure que P(n) no és mai verdadera, ja que la successió de naturals que verifiquen la propietat P(n) mai no pot ser estrictament decreixent i infinita.
Linha 15 ⟶ 14:
== Exemples ==
* Per demostrar que no existeixen naturals més grans que zero ''x'' i ''y'' tals que <math>x^2 = 2y^2</math> (1), se suposa que sí que existeixen, llavors ''x'' serà parell i s'escriurà <math>2x_1</math>. L'igulatat (1) s'escriurà <math>4x_1^2 = 2y^2</math>, per tant <math>2x_1^2 = y^2</math>.
: Llavors es tindrà ''y'' parell. S'escriurà <math>2y_1</math>. Els naturals <math>x_1</math> i <math>y_1</math> verifiquen altre cop <math>x_1^2 = 2y_1^2</math>.
: Així es pot crear una successió una successió de nombres naturals (els quadrats són sempre positius) estrictament decreixent que verifiquen (1).
: Això és absurd i per tant es conclou que no existeixen pas cap parell de nombres naturals no nuls ''x'' i ''y'' tals que <math>x^2 = 2y^2</math>.
== Història ==
Aquest mètode apareix en els [[Elements d'Euclides]], però és sobretot [[Pierre de Fermat]] que el formula explícitament i és de fet un instrument important en el seu programa per a la teoria dels nombres naturals;<ref>Carta a [[Pierre de Carcavi]], 1659</ref> apareix en particular en la seva prova del teorema que la superfície d'un triangle rectangle del qual els costats són enters no pot ser el quadrat d'un enter, prova que constitueix la seva Observació 45 sobre les Aritmètiques de [[Diofantnt]] i que va ser publicada per primera vegada el 1670, a l'edició pòstuma d'aquestes observacions que va fer Samuel de Fermat. Aquest teorema porta a la [[demostració de l'últim teorema de Fermat]] per a n=4. Frenicle de Bessy se serveix també del mètode de descens infinit, segons Fermat, al seu Tractat dels triangles rectangles en nombres, editat el 1676. També va ser utilitzada per [[Leonhard Euler|Euler]] per establir la demostració del [[teorema dels dos quadrats de Fermat]], i en nombroses investigacions de teoria de nombres. Una variant ha estat posada a la pràctica per demostrar el [[teorema de Faltings]] segons el qual l'estructura dels punts amb coordenades racionals (o més generalment amb coordenades en un cos de nombres) sobre una [[corba el·líptica]] és un [[grup abelià finit]].
| |||