Teorema de Bolzano-Weierstrass: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
m Bot elimina espais repetits |
||
Línia 15:
'''Lema:''' Cada successió ''{ x<sub>n</sub> }'' en R té una sub-successió monòtona.
'''Demostració''': Diem que un nombre enter positiu ''n'' és corresponent a un pic de la seqüència si ''m > n'' implica {{nowrap|''x''<sub> ''n''</sub> > ''x''<sub> ''m''</sub>}}  és a dir, si ''x''<sub>''n''</sub> és major que tots els termes següents de la successió. Suposem primer que la successió té pics infinits, ''n''<sub>1</sub> < ''n''<sub>2</sub> < ''n''<sub>3</sub> < … < ''n''<sub>''j''</sub> < … Llavors la sub-successió corresponent   <math> \{x_{n_j}\}</math>  als pics és monòtonament decreixent, per tant el lema queda demostrat. Suposem ara que només hi ha un nombre finit de pics, sigui ''N'' l'últim pic i {{nowrap|1=''n''<sub>1</sub> = ''N'' + 1}}. Llavors ''n''<sub>1</sub> no és un pic, ja que {{nowrap|''n''<sub>1</sub> > ''N''}}, fet que implica l'existència d'un {{nowrap|''n''<sub>2</sub> > ''n''<sub>1</sub>}} con
En efecte, si per a tot ''n'', ''a'' ≤ ''a''<sub>''n''</sub> ≤ ''b'' (perquè la successió ''a''<sub>''n''</sub> és fitada) es denota per ''I''<sub>0</sub> el conjunt dels nombres reals ''x'' que compleixen ''a'' ≤ ''x'' ≤ ''b,'' llavors es divideix ''I''<sub>0</sub> en dues meitats i s'escull la meitat de la dreta si conté infinits termes de la successió ''a''<sub>''n''</sub>. En cas contrari, s'escull la meitat esquerra. Es denota per ''I''<sub>1</sub> la meitat escollida. Aleshores es torna a dividir ''I''<sub>1</sub> en dues meitats i se n'escull una aplicant el criteri anterior. Es denota per ''I''<sub>2</sub> la meitat escollida. Es repeteix el procés indefinidament.
| |||