Incentre: diferència entre les revisions

Sigui el triangle <math>\triangle ABC</math> i considerem les bisectrius dels angles <math>\widehat{A} = 2 \alpha</math> i <math>\widehat{B} = 2 \beta</math>.

* Vegem primer que aquestes bisectrius es tallen: com que <math>\widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180^\circ</math>, tenim que <math>\widehat{A} + \widehat{B} = 2 \alpha + 2 \beta < 180^\circ</math> i, per tant, <math>\alpha + \beta < 90^\circ < 180^\circ</math>. Ara, el [[postulats d'Euclides|cinquè postulat d'Euclides]] demana que les bisectrius es tallin en un punt <math>I</math>, situat en el [[semiplà]] definit pel costat <math>AB</math> que conté els angles <math>\alpha</math> i <math>\beta</math>, és a dir, el semiplà que conté el triangle <math>\triangle ABC</math>. De la mateixa manera, les bisectrius dels angles <math>\widehat{A} = 2 \alpha</math> i <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> es tallen en un punt del semiplà definit pel costat <math>AC</math> que conté el triangle <math>\triangle ABC</math> i les bisectrius dels angles <math>\widehat{B} = 2 \beta</math> i <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> es tallen en un punt del semiplà definit pel costat <math>BC</math> que conté el triangle <math>\triangle ABC</math>.

* Finalment, el punt <math>I</math>, com que pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{A}</math>, equidista dels seus costats <math>AB</math> i <math>AC</math> i, com que pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{B}</math>, equidista dels seus costats <math>BA</math> i <math>BC</math>. En conseqüència, el punt <math>I</math> equidista dels costats <math>CA</math> i <math>CB</math> de l'angle <math>\widehat{C}</math> i, per tant, pertany a la bisectriu de l'angle <math>\widehat{C}</math>. Les tres bisectrius del triangle es tallen, doncs, en el punt <math>I</math>, que és l''''incentre''' del triangle <math>\triangle ABC</math>.

 

==== Exincentres ====

Ara considerem les bisectrius exteriors dels angles <math>\widehat{A}</math> i <math>\widehat{B}</math>, és a dir, les bisectrius dels angles <math>2 \delta</math> i <math>2 \varepsilon</math> i la bisectriu interior de l'angle <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math>.

* L'angle <math>2 \delta</math> determinat pel costat <math>AB</math> i la prolongació del costat <math>AC</math> és la intersecció del semiplà definit per la recta <math>AB</math> que no conté el triangle i el semiplà definit per la recta <math>AC</math> que sí conté el triangle. En particular, la bisectriu d'aquest angle és a aquest darrer semiplà. De la mateixa manera, la bisectriu de l'angle <math>2 \varepsilon</math> determinat pel costat <math>AB</math> i la prolongació del costat <math>BC</math> és al semiplà definit per la recta <math>BC</math> que sí conté el triangle. Per tant, el punt <math>I_C</math> d'intersecció de les dues bisectrius és a la intersecció dels dos semiplans, és a dir, a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>.

* També, <math>\widehat{B} + \widehat{C} = 2 \beta + 2 \gamma < 180^\circ</math>, o sigui que <math>\beta + \gamma < 90^\circ</math> i, com que, <math>\beta + \varepsilon = 90^\circ</math>, resulta <math>2 \beta + \gamma + \varepsilon = \widehat{B} + \gamma + \varepsilon < 180^\circ</math> i, altra vegada, del cinquè postulat d'Euclides, deduïm que les bisecrius dels angles <math>\widehat{C} = 2 \gamma</math> i <math>2 \varepsilon</math> es tallen en un punt del semiplà determinat pel costat <math>AB</math> que no conté el triangle <math>\triangle ABC</math> i a l'interior de l'angle <math>\widehat{C}</math>. Interseccions similars existeixen per a cada parella de bisectriu exterior i de bisectriu interior de vèrtexs diferents del triangle.

<center><math>

\overrightarrow{BP} = \dfrac{BP}{BC} \, \overrightarrow{BC} = \dfrac{BP}{a} \, \overrightarrow{BC} = \dfrac{c}{b + c} \, \overrightarrow{BC},

\overrightarrow{AQ} = \dfrac{AQ}{AC} \, \overrightarrow{AC} = \dfrac{AQ}{b} \, \overrightarrow{AC} = \dfrac{c}{a + c} \, \overrightarrow{AC}

</math></center>