Base ortogonal: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m neteja i estandardització de codi |
millores de format i estructura |
||
Línia 3:
Qualsevol base ortogonal es pot utilitzar per definir un sistema de coordenades ortogonals. Les bases ortogonals (no necessàriament ortonormals) són importants a causa del seu aspecte de [[coordenades ortogonals]] curvilínies en [[Espai euclidià|espais Euclidians]], així com en varietats [[Varietat riemanniana|Riemannianes]] i [[Varietat pseudoriemanniana|pseudo-Riemannianes]].
Siguin <math>e_1</math> i <math>e_2</math> dos vectors d'un [[Espai prehilbertià|espai de prehilbertià]] <math>X</math> (un [[espai vectorial]] amb [[producte interior]]). Aquests vectors són [[Ortogonal|ortogonals]] si el seu producte interior és nul:<math display="block">e_1 \perp e_2 \Longleftrightarrow \langle e_1,e_2 \rangle = 0</math>Base ortogonal▼
▲=== Definició ampliada ===
▲==== Ortogonalitat ====
▲Siguin <math>e_1</math> i <math>e_2</math> dos vectors d'un [[Espai prehilbertià|espai de prehilbertià]] <math>X</math> (un [[espai vectorial]] amb [[producte interior]]). Aquests vectors són [[Ortogonal|ortogonals]] si el seu producte interior és nul:
Un conjunt <math>\{e_i\} = \{e_1,\ldots,e_n\}</math> de vectors de <math>X</math> és una
==== Base ortogonal ====▼
▲Un conjunt <math>\{e_i\} = \{e_1,\ldots,e_n\}</math> de vectors de <math>X</math> és una '''base ortogonal''' si cada parella de vectors són ortogonals entre sí dos a dos, és a dir,
<math display="block">\langle e_i,e_j \rangle = 0 \qquad\text{per a}\qquad i\neq j</math>
Linha 18 ⟶ 14:
i qualsevol vector <math>x\in X</math> es pot escriure com a [[combinació lineal]] de <math>e_1,\ldots,e_n</math>:
<math display="block">x = \sum_{i=1}^{n} c_i e_i = c_1 e_1 + \ldots + c_n e_n</math>on <math>c_1,\ldots,c_n</math> són constants.
Si la base ortogonal <math>\{e_i\}</math> està formada per vectors, tals que la seva [[Norma (matemàtiques)|norma]] és igual a la unitat, <math>||e_i|| = 1</math>, aleshores <math>\{e_i\}</math> s'anomena '''base ortonormal''', i satisfà:
Linha 31 ⟶ 23:
&0 \quad\text{per a}\quad i\neq j\\
&1 \quad\text{per a}\quad i = j
\end{align}\right.</math>Bibliografia
* Lang, Serge (2004), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, 211 (Corrected fourth printing, revised third ed.), New York: Springer-Verlag, pp. 572–585, ISBN 978-0-387-95385-4.
* {{ref-llibre|cognom=Lay |nom=David |data=2012 |títol=Linear Algebra and its Applications |edició=4th ed. update |lloc=Boston |editorial=Addison-Wesley |isbn=978-0-321-38517-8}}
Linha 42 ⟶ 31:
== Enllaços externs ==
* [https://encyclopediaofmath.org/wiki/Orthogonal_basis Orthogonal basis. Encyclopedia of Mathematics.]
[[Categoria:Àlgebra lineal]]
| |||