Intersecció de rectes: diferència entre les revisions
Contingut suprimit Contingut afegit
m Bot elimina espais sobrants |
m Canvis menors, neteja, replaced: vàries → diverses AWB |
||
Línia 11:
=== Donats dos punts sobre cada recta ===
Considerem primer la intersecció de dues rectes ''L''<sub>1</sub> i ''L''<sub>2</sub> en un espai bidimensional, on la recta ''L''<sub>1</sub> està definida per dos punts diferents {{Nowrap|(''x''<sub>1</sub>, ''y''<sub>1</sub>)}} i {{Nowrap|(''x''<sub>2</sub>, ''y''<sub>2</sub>)}}, i la recta ''L''<sub>2</sub> està definida per dos punts diferents {{Nowrap|(''x''<sub>3</sub>, ''y''<sub>3</sub>)}} i {{Nowrap|(''x''<sub>4</sub>, ''y''<sub>4</sub>)}}.<ref name="Wolfram">
{{Ref-web|títol=Weisstein, Eric W. "Line-Line Intersection." From MathWorld| editor=A Wolfram Web Resource|url= http://mathworld.wolfram.com/Line-LineIntersection.html}}</ref>
La intersecció ''P'' de les rectes ''L''<sub>1</sub> i ''L''<sub>2</sub> es pot definir utilitzant [[Determinant (matemàtiques)|determinants]].
Línia 67:
</math>
El punt d'intersecció estarà a l'interior del primer segment de recta si 0 ≤
Quan les dues rectes són paral·leles o coincidents, el denominador és zero:
Línia 96:
: <math>y=a\frac{d-c}{a-b}+c. </math>
En conclusió, el punt d'intersecció és
: <math>P\left( \frac{d-c}{a-b}, a\frac{d-c}{a-b}+c \right) = P\left( \frac{d-c}{a-b}, \frac{ad - bc}{a-b} \right). </math>
Línia 107:
Suposi's que hom vol trobar la intersecció de dues rectes infinites en l'espai bidimensional, definides per {{Nowrap|1=''a''<sub>1</sub>''x'' + ''b''<sub>1</sub>''y'' + ''c''<sub>1</sub> = 0}} i {{Nowrap|1=''a''<sub>2</sub>''x'' + ''b''<sub>2</sub>''y'' + ''c''<sub>2</sub> = 0}}. Es poden representar aquestes dues rectes en [[coordenades de la recta]] com {{Nowrap|1=''U''<sub>1</sub> = (''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''c''<sub>1</sub>)}} i {{Nowrap|1=''U''<sub>1</sub> = (''a''<sub>1</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''c''<sub>1</sub>)}}.
Llavors la intersecció ''P''<nowiki/>' de les dues rectes ve simplement donat per<ref>{{Ref-web|títol=Homogeneous coordinates|url= http://robotics.stanford.edu/~birch/projective/node4.html| editor=robotics.stanford.edu|data=23-04-1998|nom=Stanley|cognom=Birchfield}}</ref>
<math>\begin{align}
Línia 134:
El procediment anterior es pot estendre de manera trivial al cas tridimensional. En dimensió 3 o superior, també és cert que és gairebé segur que dues rectes no s'intersecten; si un parell de rectes no es tallen, hom diu són [[rectes que es creuen]]. Però si existeix una intersecció, hom pot trobar-ne el punt de la manera següent.
En tres dimensions, una recta es pot representar per la intersecció de dos [[
: <math>Aw=b </math>
Línia 164:
: <math>d(x,(p,n))^2=(x-p)^\top (\hat n \hat n^\top) (x-p). </math>
La suma dels quadrats de les distàncies a
: <math>E(x) = \sum_i (x-p_i)^\top (\hat n_i \hat n_i^\top) (x-p_i). </math>
Línia 194:
: <math>\hat n_i \hat n_i^\top </math> esdevé <math>I - {\hat v}_i {\hat v}_i^\top </math>
on ''I'' és la [[matriu identitat]], i per tant<ref>{{Ref-web|cognom=Traa|nom=Johannes|títol=Least-Squares Intersection of Lines|url= http://cal.cs.illinois.edu/~johannes/research/LS_line_intersect.pdf|any=2013| consulta=2019-04-27|arxiuurl= https://web.archive.org/web/20181123125925/http://cal.cs.illinois.edu/~johannes/research/LS_line_intersect.pdf|arxiudata=2018-11-23}}</ref>
: <math> x= \left(\sum_i \left(I-\hat v_i \hat v_i^\top\right)\right)^{-1} \left(\sum_i \left(I-\hat v_i \hat v_i^\top\right) p_i\right). </math>
Línia 208:
== Enllaços externs ==
* [http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0106/algorithm_0106.htm Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach] {{Webarchive|url= https://web.archive.org/web/20120227014734/http://softsurfer.com/Archive/algorithm_0106/algorithm_0106.htm |date=2012-02-27}} {{En}}, aplicable a dues, tres o més dimensions.
{{ORDENA:Interseccio De Rectes}}
| |||