Equació d'Euler-Tricomi

En matemàtiques, l'equació d'Euler-Tricomi és una equació en derivades parcials lineal útil per a l'estudi del flux transònic. Rep el nom de Leonhard Euler i Francesco Giacomo Tricomi.

$u_{xx}+xu_{yy}=0.\,$

És el·líptica en el semiplà $x>0$, parabòlic en $x=0$, i hiperbòlic al semipla $x<0$. Les seves característiques són:

$x\,dx^{2}+dy^{2}=0,\,$

la integral de la qual és:

$y\pm {\frac {2}{3}}x^{3/2}=C,$

on $C$ és una constant d'integració. Per tant, les característiques comprenen dues famílies de paràboles semicúbiques, amb cúspides en la línia $x=0$, i les corbes es troben al costat dret de l'eix $Y$.

Solucions particulars

Les solucions particulars a les equacions d'Euler-Tricomi són del tipus:

• $u=Axy+Bx+Cy+D,\,$
• $u=A(3y^{2}+x^{3})+B(y^{3}+x^{3}y)+C(6xy^{2}+x^{4})+D(2xy^{3}+x^{4}y),\,$

on $A$, $B$, $C$ i $D$ són constants arbitràries.

Una expressió general per a aquestes solucions és la següent:

• $u=\sum _{i=0}^{k}{\frac {x^{m_{i}}\cdot y^{n_{i}}}{c_{i}}}\,$

on

• $p,q\in [0,1]$
• $m_{i}=3i+p$
• $n_{i}=2(k-i)+q$
• $c_{i}=m_{i}!!!\cdot (m_{i}-1)!!!\cdot n_{i}!!\cdot (n_{i}-1)!!$

L'equació d'Euler-Tricomi és una forma limitada de l'Equació de Txapliguin.

Bibliografia

• Polyanin, A. D. Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists (en anglès). Chapman & Hall/CRC Press, 2002. 

Vegeu també

• Equació de Burgers

Enllaços externs

• «Tricomi and Generalized Tricomi Equations» (PDF) (en anglès). EqWorld: The World of Mathematical Equations.