Llei de Gauss

En física i electromagnetisme, la llei de Gauss relaciona la càrrega elèctrica i el camp elèctric, essent una forma més general i elegant de la llei de Coulomb. La llei implica el concepte de flux elèctric, que es refereix al camp elèctric que travessa una determinada superfície, dona la relació entre el flux elèctric que surt d'una superfície tancada i la càrrega elèctrica tancada que hi ha dins d'aquesta mateixa superfície (coneguda com a superfície gaussiana). La llei fou enunciada l'any 1835 per Carl Friedrich Gauss (1777 - 1855), tot i que no fou publicada fins al 1867. És una de les quatre equacions de Maxwell, bàsiques a la teoria electromagnètica clàssica, juntament amb la llei de Gauss per al magnetisme, la llei de Faraday i la llei d'Ampère.

La llei de Gauss té una forta similitud matemàtica amb moltes altres lleis físiques, com la llei de Gauss per al magnetisme i la llei de Gauss per a la gravitació. La seva forma matemàtica generalitzada, considerant qualsevol camp vectorial A i una regió de l'espai d'un determinat volum V limitada per una superfície S, és coneguda com a teorema de Gauss o teorema de la divergència i pot emprar-se en qualsevol context en què es doni la llei de la inversa del quadrat. La llei de Gauss és equivalent a la llei de Coulomb, de la qual se'n pot derivar i viceversa.

Equacions

La llei de Gauss es pot enunciar en forma integral o diferencial, fent servir o bé el camp elèctric E o bé el desplaçament elèctric D.

Forma integral

En la seva forma integral, la llei de Gauss estableix:

$\Phi _{E}=\oint _{S}{\vec {E}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}={1 \over \varepsilon _{o}}\int _{V}\rho \ \mathrm {d} V={\frac {Q_{A}}{\varepsilon _{o}}}$

on $\Phi _{E}$ és el flux elèctric, ${\vec {E}}$ és el camp elèctric, $d{\vec {A}}$ és un diferencial d'àrea de la superfície tancada S perpendicular a aquesta superfície i dirigit cap a fora, $Q_{\mathrm {A} }$ és la càrrega tancada dins la superfície, $\rho$ és la densitat de càrrega en un punt del volum $V$ definit per la superfície, $\epsilon _{o}$ és la permitivitat del buit i $\oint _{S}$ és la integral de la superfície S que tanca el volum V.

Alternativament, podem enunciar la llei de Gauss en forma integral fent servir el desplaçament elèctric:

$\Phi _{D}=\oint _{S}{\vec {D}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}=Q_{lliure}$

on $\Phi _{D}$ és el flux del desplaçament elèctric i $Q_{lliure}$ la càrrega lliure tancada dins la superfície

Forma diferencial

En forma diferencial, l'equació de Gauss esdevé:

${\vec {\nabla }}\cdot {\vec {D}}=\rho _{\mathrm {lliure} }$

on $\nabla$ és l'operador nabla que representa la divergència, D és el desplaçament elèctric (en unitats de C/m²), i ρ és la densitat de càrrega elèctrica lliure (en unitats de C/m³), sense incloure les càrregues dipolars lligades al material. La forma diferencial del Teorema de Gauss deriva parcialment del Teorema de la Divergència de Gauss.

Per a materials lineals, l'equació esdevé:

${\vec {\nabla }}\cdot \varepsilon {\vec {E}}=\rho _{\mathrm {lliure} }$

on $\varepsilon$ és la permitivitat elèctrica.

La llei de Coulomb

Article principal: Llei de Coulomb

En el cas especial d'una superfície esfèrica amb una càrrega central, el camp elèctric és perpendicular a la superfície, amb la mateixa magnitud a tot els seus punts, seguint l'expressió més simple:

$E={\frac {Q}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

on E és la força del camp elèctric al radi r, Q és la càrrega tancada, i ε₀ és la permitivitat del buit. Fins aquí la dependència del camp elèctric de la familiar llei de la inversa del quadrat a la llei de Coulomb segueix la llei de Gauss.

La llei de Gauss pot ser utilitzada per demostrar que no hi ha un camp elèctric dins d'una gàbia de Faraday ni càrregues elèctriques. La llei de Gauss és l'equivalent electroestàtic de la llei d'Ampère, les dues equacions foren integrades dins de les equacions de Maxwell.

Va ser formulada el 1835 per Carl Friedrich Gauss però no es va publicar fins al 1867. A causa de la similaritat matemàtica, la llei de Gauss té aplicacions a altres magnituds físiques regides per la llei de la inversa del quadrat, com la gravitació o la intensitat de la radiació.

Analogia gravitacional

Atès que tant la gravetat com l'electromagnetisme tenen forces que es propaguen de manera relativa al quadrat de la distància entre dos objectes, es pot relacionar els dos utilitzant la llei de Gauss examinant els respectius vectors de camp ${\vec {g}}$ i ${\vec {E}}$, on

${\vec {g}}=-G{\frac {m}{{\vec {r}}^{2}}}{\hat {r}},$

i

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {q}{{\vec {r}}^{2}}}{\hat {r}},$

on $G$ és la constant de la gravitació, $m$ és la massa del punt origen, $r$ és el radi, la distància, entre el punt origen i un altre objecte, $\varepsilon _{0}$ és la permitivitat del buit, i $q$ és la càrrega del punt elèctric origen.

De la mateixa manera que s'avalua la integral de superfície per l'electromagnetisme per tenir el resultat ${\frac {q}{\varepsilon _{0}}}$, es pot escollir una superfície Gaussiana adequada per trobar una resposta pel flux gravitacional. Per una massa puntual centrada a l'origen del sistema de coordenades, l'elecció més lògica és una esfera de radi $r$ centrada a l'origen.

Es comença amb la forma integral de la llei de Gauss:

$\Phi _{g}=\oint _{S}{\vec {g}}\cdot \mathrm {d} {\vec {A}}.$

Un element infinitesimal d'àrea és l'àrea de l'angle sòlid infinitesimal, que es defineix com:

$\mathrm {d} {\vec {A}}=r^{2}\mathrm {d} \Omega {\hat {r}}.$

La superfície Gaussiana és escollida de tal manera que el vector perpendicular a la superfície sigui radial a l'origen. Amb

$\Phi _{g}=\oint _{S}g(r){\hat {r}}\cdot {\hat {r}}r^{2}\mathrm {d} \Omega ,$

es veu que el producte de dos vectors radials és unitari i que les dues magnituds del camp, ${\vec {g}}$, i el quadrat de la distància entre la superfície i el punt, $r^{2}$, es mantenen constants per a cada element de la superfície. Això dona la integral

$\Phi _{g}=g(r)r^{2}\oint _{S}\mathrm {d} \Omega .$

La superfície integral que queda és l'àrea de la superfície de l'esfera ($4\pi r^{2}$). Si es combina això amb l'equació del camp gravitacional, es té una expressió per al flux del camp gravitacional d'una massa puntual.

$\Phi _{g}=-{\frac {Gm}{r^{2}}}4\pi r^{2}=-4\pi Gm$

És interessant ressaltar que el flux gravitacional, igual que l'homòleg electromagnètic, no depèn del radi de l'esfera.

Limitacions

La llei de Gauss pot ser utilitzada per resoldre problemes de camps electroestàtics que impliquen una simetria especial, habitualment simetries esfèriques, cilíndriques o planes. La facilitat amb què aquest tipus de problemes poden ser resolts pot transmetre la impressió errònia de que el mètode és molt potent, i pot ser utilitzat per resoldre molts altres problemes, però malauradament no és així. Aviat s'esgota la llista dels que poden ser resolts fàcilment amb la llei de Gauss.

Vegeu també

• Influència total
• Teorema de Stokes
• Delta de Dirac

Bibliografia

• Giancoli, Douglas C. Physics: Principles with Applications (en anglès). Setena edició. Pearson Education Limited, 2015. ISBN 978-0-321-62592-2. 

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Llei de Gauss