Obre el menú principal
Per a altres significats, vegeu «divergència (desambiguació)».

En càlcul vectorial, s'anomena divergència a l'operador que mesura la tendència d'un camp vectorial per originar-se o convergir a un determinat punt. Per exemple, per un camp vectorial que denoti la velocitat del flux de l'aigua escolant-se per una banyera, la divergència tindria valor negatiu al forat de la banyera, ja que l'aigua se'n va per allà (si només considerem dues dimensions); lluny del forat, la divergència seria zero, ja que no hi ha cap més pèrdua o font d'aigua.[1][2] Una altra notació comú de la divergència és ∇·F. Veure en aquest sentit operador nabla.

Un camp vectorial que té divergència zero s'anomena solenoïdal.

DefinicióModifica

Sigui x, y, z un sistema de coordenades cartesianes en un espai euclidià de dimensió tres, i siguin ijk les bases dels vectors unitat corresponents.

La divergència d'un camp vectorial diferenciable continu

F = Fx i + Fy j + Fz k

es defineix com la funció de valor escalar

 

Encara que s'expressi en termes de coordenades, el resultat és invariant sota transformades ortogonals, tal com suggereix la interpretació física.

Interpretació físicaModifica

En termes físics, la divergència d'un camp vectorial és l'abast en el qual el flux d'un camp vectorial es comporta com una font o un desguàs en un punt determinat. De fet, una alternativa dóna la divergència com la derivada del flux net d'un camp vectorial a través de la superfície d'una esfera petita relativa amb el volum de l'esfera.[3] Concretament,

 

on S(r) denota l'esfera de radi r al punt p en R3, i la integral és la integral de superfície respecte de n, la normal a l'esfera.

Per la interpretació física, un camp vectorial amb divergència constant zero s'anomena incomprimible – en aquest cas, no hi pot haver cap flux net a través de cap superfície tancada.

PropietatsModifica

Les propietats següents deriven totes de les regles de diferenciabilitat ordinària del càlcul. La més important, la divergència és un operador lineal,

 

per tots els camps vectorials F i G i tots els nombres reals a i b.

Hi ha una norma de producte del tipus següent; si φ és una funció de valor escalar, i F és un camp vectorial, llavors

 

o en notació més suggestiva

 

Una altra regla del producte pel producte escalar de dos camps vectorials F i G en tres dimensions implica el rotacional, que és:

 

o bé

 

El Laplacià d'un camp escalar és la divergència del gradient del camp.

La divergència del rotacional de qualsevol camp vectorial (en tres dimensions) és constant i val zero.

 

Al contrari, si tens un camp vectorial F amb divergència nul·la definit en una bola en R3, llavors existeix algun camp vectorial F en aquesta bola amb F = rot(G). Per regions en R3 més complicades que boles, l'última afirmació pot no ser veritat.

Vegeu tambéModifica

ReferènciesModifica

  1. «divergència». L'Enciclopèdia.cat. Barcelona: Grup Enciclopèdia Catalana.
  2. «divergence» (en anglès). britannica.com. [Consulta: 12 setembre 2014].
  3. «Divergence» (en anglès). wolfram.com. [Consulta: 12 setembre 2014].

Enllaços externsModifica