Els polinomis d'Hermite:
es defineixen com els polinomis d'Hermite probabilístics o, de vegades, com els polinomis d'Hermite físics:
Aquestes dues definicions no són exactament equivalents, una és un reescalat trivial de l'altra:
.
Els polinomis físics poden expressar-se com:
és un polinomi de grau n, amb n = 0, 1, 2, 3,... Aquests polinomis són ortogonals respecte de la funció pes (mesura):
(probabilista)
o
(física)
és a dir,
(probabilista)
o
(física)
on δ ij és la delta de Kronecker, que val la unitat quan n = m i zero en un altre cas. Els polinomis probabilístics són ortogonals respecte de la funció de densitat de probabilitat normal.
Funció generadora
modifica
Fórmules de recurrència
modifica
Els polinomis d'Hermite (en la seva forma "física") satisfan les següents relacions de recurrència:
Descomposició en sèrie de funcions
modifica
Tota funció f contínua pot expressar-se com sèrie infinita en termes de polinomis d'Hermite:
On les constants de l'anterior sèrie venen donades per:
Altres resultats
modifica
-
-
-
Equació diferencial d'Hermite
modifica
Els polinomis d'Hermite són solucions de l'equació diferencial d'Hermite:[1]
que en forma canònica es pot escriure com:
- ↑ Spiegel & Abellanas, 1992, p.158.
- Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill. Fórmules i taules de matemàtica aplicada, 1992. ISBN 84-7615-197-7.