Fórmula de Faulhaber

En matemàtiques, la fórmula de Faulhaber, en honor de Johann Faulhaber, expressa la suma de les potències dels primers n nombres naturals

com un polinomi en n de grau , els coeficients dels quals es construeixen a partir dels nombres de Bernoulli. La fórmula és la següent:

Faulhaber mai no va conèixer aquesta fórmula general; el que sí que va conèixer van ser almenys els primers 17 casos i el fet que, si l'exponent és senar, llavors la suma és una funció polinòmica de la suma al cas especial en què l'exponent sigui 1. També va fer algunes generalitzacions (vegeu Knuth).

La demostració de la fórmula de Faulhaber es pot trobar a The Book of Numbers de John Horton Conway i Richard Guy.

Els primers casosModifica

 
 
 
 
 
 

Forma alternativaModifica

Si l'índex de suma de la sèrie va des d'1 fins a   en comptes d'anar des d'1 fins a n, aquestes fórmules són modificades de tal manera que l'únic canvi és que es pren  en comptes de +1/2 (és a dir, en aquest cas, en la fórmula només hi intervenen nombres de Bernoulli). Així, el segon terme de major ordre en tots els resultats anteriors canvia el símbol de suma pel de diferència.

Relació amb els polinomis de BernoulliModifica

La fórmula de Faulhaber es pot escriure en funció dels polinomis de Bernoulli així:

 

Forma llindarModifica

Al càlcul llindar clàssic, es tracta formalment als índexs j en una seqüència   com si aquests fossin exponents. Fent això, es pot aplicar el teorema del binomi i obtenir:

 


 

En el càlcul llindar modern, es construeix el funcional lineal T a l'espai vectorial de polinomis en una variable b donada per:

 

Llavors s'obté

 


 

Polinomis de FaulhaberModifica

Faulhaber va observar que, si p és senar, llavors

 

és un polinomi en a , on a és la suma dels n primers naturals:

 

En particular es té:

 


 


 


 


 

La primera d'aquestes identitats és el teorema de Nicomachus. Alguns autors anomenen els polinomis de la dreta d'aquestes identitats "polinomis de Faulhaber en a".

ReferènciesModifica