Fórmula de De Moivre

En matemàtiques la fórmula de De Moivre, anomenada així per Abraham de Moivre, afirma que, per a tot nombre real $x$ i tot enter $n$ ,

(\cos {x}+\mathrm {i} \sin {x})^{n}=\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)

Aquesta fórmula és important perquè connecta els nombres complexos (la lletra ${i}$ representa la unitat imaginària) amb la trigonometria, cosa molt útil, per exemple, en la representació gràfica dels nombres complexos.

La fórmula de De Moivre pot ser obtinguda de la fórmula d'Euler:

e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x

La fórmula de Moivre treballa amb la representació trigonomètrica d'un nombre complex, que és:

r(\cos x+\mathrm {i} \,\sin x)

si es té en compte una altra forma de representació dels nombres imaginaris, més intuïtiva, anomenada forma polar, que permet una visualització més ràpida de la naturalesa del nombre en qüestió:

r_{\alpha }

on $r$ és la llargada o mòdul del vector que uneix l'origen de coordenades amb la representació gràfica del nombre complex, i ${\alpha }$ l'angle que té aquest vector respecte l'eix OX.

Obtenció

La fórmula de De Moivre pot ser obtinguda de la fórmula d'Euler:

e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x

aplicant lleis de l'exponenciació

\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}.\,

Llavors, aplicat a la fórmula d'Euler:

e^{i(nx)}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,

.

Alguns resultats

Partint novament de la fórmula d'Euler:

e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x

Si es fa que $x=\pi$ llavors es té la identitat d'Euler:

e^{i\pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\sin \pi =-1+0=-1

És a dir:

e^{i\pi }=-1\,

A més, com que es tenen aquestes dues igualtats:

e^{ix}=\cos x+\mathrm {i} \,\sin x\,

e^{-ix}=\cos x-\mathrm {i} \,\sin x\,

es poden deduir les següents expressions:

\cos x=(e^{ix}+e^{-ix})/2\,

\sin x=(e^{ix}-e^{-ix})/2\mathrm {i} \,

Demostració per inducció

Es consideren tres casos.

Per un enter n > 0, es procedeix a través de la inducció matemàtica. Quan n = 1, el resultat és clarament cert. Per aquesta hipòtesi s'assumeix que el resultat és vertader per algun enter positiu k. És a dir, que s'assumeix:

\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,

Ara, considerant el cas n = k + 1:

{\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)\qquad {\mbox{per la hipòtesi de la inducció}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]\qquad {\mbox{per les identitats trigonomètriques}}\end{alignedat}}

Es dedueix que el resultat és vertader per n = k + 1 quan és vertader per n = k. Pel principi d'inducció matemàtica, es desprèn que el resultat és vertader per tots els enters positius n≥1.

Quan n = 0 la fórmula és vertadera ja que $\cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1$ , i (per conveni) $z^{0}=1$ .

Quan n < 0, consideri's un enter positiu m tal que n = −m. Per tant:

${\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{alignedat}}$