Factor d'integració

En matemàtiques, hom resol certes equacions diferencials ordinàries mitjançant un factor d'integració o factor integrand. El factor d'integració és sols una funció agafada de manera tal que permet resoldre l'equació desitjada.

Considerant una equació diferencial ordinària de la forma:

y'+a(x)y=b(x)\quad \quad \quad (1)\,

on $y=y(x)$ és una funció desconeguda de $x$ , i $a(x)$ i $b(x)$ són funcions donades.

El factor d'integració funciona de manera que transforma la banda esquerra de l'equació en la forma de la derivada d'un producte.

Consident una funció $M(x)$ . Es multipliquen ambdues bandes de (1) per $M(x):$

M(x)y'+M(x)a(x)y=M(x)b(x)\quad \quad \quad (2)

Es vol que la banda esquerra quedi de la forma d'una derivada del producte. De fet, si s'assumeix això, la banda esquerra es pot reordenar com a

(M(x)y)'=M(x)b(x)\quad \quad \quad (3)\,

I això es pot integrar,

y(x)M(x)=\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C\,

on $C$ és una constant (veure constant arbitrària d'integració). I ara es pot resoldre per $y(x),$

y(x)={\frac {\int \limits _{}^{}\!b(x)M(x)\,dx+C}{M(x)}}\,

Tanmateix, per resoldre explícitament per $y(x)$ es necessita trobar l'expressió de $M(x).$ Es pot deduir de (2) que $M(x)$ obeeix l'equació diferencial

M'(x)-a(x)M(x)=0\quad \quad \quad (4)\,

Per aconseguir $M(x)$ , es divideixen les dues bandes per $M(x):$

{\frac {M'(x)}{M(x)}}-a(x)=0\quad \quad \quad (5)\,

L'equació (5) ara és de la forma d'una derivada logarítmica. Resolent (5) s'obté

M(x)=e^{\int \limits _{}^{}\!a(x)\,dx}\,

Es pot veure que multiplicar per $M(x)$ i la propietat $M'(x)=a(x)M(x)$ són essencials per resoldre aquesta equació diferencial. $M(x)$ s'anomena factor d'integració. El nom prové del fet que és una integral, i es comporta com un múltiple de l'equació (d'aquí el factor).