Funció de Liapunov

En la teoria d'equacions diferencials ordinàries (EDOs), les funcions de Liapunov són funcions escalars que poden ser usades per demostrar l'estabilitat d'un punt d'equilibri d'una EDO. Duen el nom del matemàtic rus Aleksandr Mikhàilovitx Liapunov i són importants en la teoria d'estabilitat de control i en la teoria de sistemes dinàmics. Un concepte similar apareix en la teoria de cadenes de Màrkov en espai d'estats general, normalment sota el nom de funcions de Foster–Liapunov.

Per algunes classes d'EDOs, l'existència de funcions de Liapunov és una condició necessària i suficient per a l'estabilitat. Així com no hi ha cap tècnica general per construir funcions de Liapunov per EDOs, en molts casos específics la construcció de funcions de Liapunov és coneguda. Per exemple, les funcions quadràtiques són funcions de Liapunov de sistemes d'un sol estat; la solució d'una desigualtat matricial lineal particular proporciona funcions de Liapunov per a sistemes lineals i sovint es poden fer servir lleis de conservació per construir funcions de Liapunov per a sistemes físics.

DefinicióModifica

Una funció de Liapunov del sistema dinàmic autònom

 

amb punt d'equilibri a   és una funció escalar contínua   té la primera derivada contínua, és estrictament positiva, i per la qual  és també estrictament positiu. La condició que   sigui estrictament positiu és sovint imposada com   ha de ser "localment definit positiu", o bé   és "localment definit negatiu".

Discussió sobre termes que sorgeixen en la definicióModifica

Les funcions de Liapunov sorgeixen en l'estudi de punts d'equilibri de sistemes dinàmics. En   un sistema dinàmic autònom arbitrari pot ser escrit com

 

on   és una funció contínua.

Un punt d'equilibri és un punt   tal que   Donat un punt d'equilibri,   sempre existeix una transformació de coordenades   tal que:

 

Llavors, en l'estudi dels punts d'equilibri, només cal assumir que el punt d'equilibri ocorre a  .

Per la regla de cadena, per qualsevol funció,   la derivada de la funció respecte el temps avaluada en una solució del sistema dinàmic és

 

Una funció   és localment definida positiva (en el sentit dels sistemes dinàmics) si d'una banda   i d'altra banda existeix un veïnat de l'origen,  , tal que:

 

Teoremes de Liapunov bàsics per a sistemes autònomsModifica

Sigui   un punt d'equilibri del sistema autònom

 

i denoti   la derivada temporal de la funció de Liapunov candidata  :

 

Equilibri local asimptòticament estableModifica

Si s'aïlla l'equilibri, la candidata a funció de Liapunov   és localment definida positiva i la seva derivada respecte el temps és localment definida negativa:

 

en un cert veïnat   de l'origen, llavors es demostra que l'equilibri és localment asimptòticament estable.

Equilibri estableModifica

Si   és una funció de Liapunov, llavors l'equilibri és estable segons Liapunov.

I vice versa també aplica, tal com va demostrar José Luis Massera.

Equilibri global asimptòticament estableModifica

Si la candidata a funció de Liapunov   és globalment definida positiva, radialment no fitada, l'equilibri aïllat i la derivada respecte el temps de la candidata a funció de Liapunov és globalment definida negativa:

 

Llavors es demostra que l'equilibri és globalment asimptòticament estable.

La candidata a funció de Liapunov   és radialment no fitada si

 

ExempleModifica

Consideri's l'equació diferencial següent amb solució   en  :

 

Atès que   és sempre positiu al voltant de l'origen, es tracta d'un bon candidat per ser una funció de Liapunov. Així, sigui .  en  , llavors:

 

Això demostra que l'equació diferencial és asimptòticament estable a l'origen. Noti's que usant el mateix candidat a funció de Liapunov es pot demostrar que el punt d'equilibri és també globalment asimptòticament estable.

BibliografiaModifica

  • Weisstein, Eric W., «Lyapunov Function» a MathWorld (en anglès).
  • Khalil, H.K.. Nonlinear systems. Prentice Hall Upper Saddle River, NJ, 1996. 
  • La Salle, Joseph. Stability by Liapunov's Direct Method: With Applications. Nova York: Academic Press, 1961. 
  • This article incorporates material from Lyapunov function on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.

Enllaços externsModifica

  • Exemple de determinació de l'estabilitat de la solució d'equilibri d'un sistema d'EDOs amb una funció de Liapunov