Funció de base radial

En matemàtiques, una funció de base radial (amb acrònim anglès RBF) és una funció amb valors reals ${\textstyle \varphi }$ el valor de la qual només depèn de la distància entre l'entrada i algun punt fix, ja sigui l' origen, de manera que ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$, o algun altre punt fix ${\textstyle \mathbf {c} }$, anomenat centre, de manera que ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|)}$ . Qualsevol funció ${\textstyle \varphi }$ que satisfà la propietat ${\textstyle \varphi (\mathbf {x} )={\hat {\varphi }}(\left\|\mathbf {x} \right\|)}$ és una funció radial. La distància sol ser una distància euclidiana, encara que de vegades s'utilitzen altres mètriques. Sovint s'utilitzen com a col·lecció $\{\varphi _{k}\}_{k}$ que constitueix la base d'algun espai funcional d'interès, d'aquí el nom.

De vegades s'utilitza la funció bump com a funció de base radial. Té un suport compacte i condueix a matrius d'interpolació disperses.

Les sumes de funcions de base radial s'utilitzen normalment per aproximar funcions donades. Aquest procés d'aproximació també es pot interpretar com un tipus simple de xarxa neuronal; aquest va ser el context en què es van aplicar originalment a l'aprenentatge automàtic, en el treball de David Broomhead i David Lowe el 1988, que va derivar de la investigació seminal de Michael JD Powell de 1977. Els RBF també s'utilitzen com a nucli en la classificació de vectors de suport. La tècnica ha demostrat ser prou eficaç i flexible perquè ara les funcions de base radial s'apliquen en una varietat d'aplicacions d'enginyeria.

Definició

Una funció radial és una funció ${\textstyle \varphi :[0,\infty )\to \mathbb {R} }$ . Quan es combina amb una mètrica en un espai vectorial ${\textstyle \|\cdot \|:V\to [0,\infty )}$ una funció ${\textstyle \varphi _{\mathbf {c} }=\varphi (\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \|)}$ es diu que és un nucli radial centrat a ${\textstyle \mathbf {c} }$ . Es diu que una funció radial i els nuclis radials associats són funcions de base radial si, per a qualsevol conjunt de nodes $\{\mathbf {x} _{k}\}_{k=1}^{n}$

• Els nuclis $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ són linelament independents (per exemple $\varphi (r)=r^{2}$ a $V=\mathbb {R}$ no és una funcióis base radial)
• Els nuclis $\varphi _{\mathbf {x} _{1}},\varphi _{\mathbf {x} _{2}},\dots ,\varphi _{\mathbf {x} _{n}}$ d'una base per a Haar Space, volen dir que el matriu d'interpolació

  $${\begin{bmatrix}\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{1}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{1}\|)\\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{2}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{2}\|)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\varphi (\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{n}\|)&\varphi (\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{n}\|)&\dots &\varphi (\|\mathbf {x} _{n}-\mathbf {x} _{n}\|)\\\end{bmatrix}},$$

  (1)

  és no singular.